La résolution des systèmes d’équations linéaires est l’un des problèmes fondamentaux de l’algèbre linéaire. Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires impliquant plusieurs variables. Le but est de trouver les valeurs des variables qui satisfont simultanément toutes les équations du système.
Méthodes pour résoudre les systèmes d’équations linéaires
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les systèmes d’équations linéaires, dont les plus courantes sont les suivantes :
Méthode de substitution
Dans cette méthode, on résout une équation du système pour l’une des variables en fonction des autres, puis on substitue cette expression dans les autres équations. On répète le processus jusqu’à ce que toutes les variables soient trouvées.
Example :
Considérons le système d’équations linéaires suivant :
Équation 1 : 2x + y = 7 Équation 2 : 3x – 2y = -4
Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode de substitution. Voici les étapes :
- À partir de l’équation 1, nous isolons la variable x en fonction de y : 2x + y = 7 => 2x = 7 – y => x = (7 – y)/2
- Nous substituons cette expression de x dans l’équation 2 : 3x – 2y = -4 => 3((7 – y)/2) – 2y = -4
- Nous simplifions l’équation : => (21 – 3y)/2 – 2y = -4 => 21 – 3y – 4y = -8
- Nous combinons les termes similaires : => 21 – 7y = -8
- Nous isolons la variable y : => -7y = -8 – 21 => -7y = -29 => y = (-29)/(-7) => y = 4.14 (arrondi)
- Maintenant que nous avons la valeur de y, nous substituons cette valeur dans l’expression de x obtenue précédemment : x = (7 – y)/2 => x = (7 – 4.14)/2 => x = 2.43 (arrondi)
Ainsi, la solution du système d’équations linéaires est x ≈ 2.43 et y ≈ 4.14.
Vous pouvez vérifier ces résultats en substituant les valeurs de x et y dans les équations initiales pour voir si elles satisfont les deux équations simultanément.
Méthode d’élimination de Gauss
Cette méthode consiste à éliminer les variables successivement en ajoutant ou en soustrayant des combinaisons linéaires des équations du système. On cherche à obtenir un système équivalent où les variables sont isolées dans certaines équations. On peut ensuite remonter les équations pour trouver les valeurs des variables.
Exemple: Considérons le système d’équations linéaires suivant :
\begin{align*} & (1)\qquad 2x+3y-z=1\\& (2)\qquad x-y+2z=-2\\& (3)\qquad 3x+2y-4z=0.\end{align*}
Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode d’élimination de Gauss. Voici les étapes :
Pour éliminer la variable $x$ des deux dernières équations, nous allons procéder comme suit : Nous remplaçons l’équation (2) par (1) – 2(2) : $4y-5z=3$. Ensuite, nous remplaçons l’équation (3) par 3(2) – (3) : $-5y+10z=-6$. Donc, le système initial est équivalent au système suivant :
\begin{align*} & (1)\qquad 2x+3y-z=1\\& (2)\qquad4y-5z=3\\& (3)\qquad -5y+10z=-6.\end{align*} Maintenant, nous remplaçons l’équation (3) par 5(2) +4(3) : $5z=-3$, et donc $z=\frac{-3}{5}$. En remplace dans la deuxieme equation on trouve $$y=\frac{5}{4}z+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}\frac{-3}{5}+\frac{3}{4}=0.$$ En fin l’equation (1) implique que $$x=\frac{1}{2}\frac{-3}{5}+0+\frac{1}{2}=\frac{1}{5}.$$ La solution du notre système d’équations linéaires est donc $(x,y,z)=(\frac{1}{5},0,\frac{-3}{5})$.
Méthode de la matrice augmentée
Dans cette méthode, on utilise les propriétés des opérations sur les matrices pour transformer le système d’équations en une matrice augmentée. En appliquant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée, on cherche à obtenir une forme échelonnée réduite. Cela permet de résoudre facilement le système en remontant les équations.
Exemple:
Considérons le système d’équations linéaires suivant :
Équation 1 : 2x + 3y – z = 1 Équation 2 : x – y + 2z = -2 Équation 3 : 3x + 2y – 4z = 0.
Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode de la matrice augmentée. Voici les étapes :
1- Écrire le système d’équations sous forme matricielle augmentée :
\begin{align*} \begin{bmatrix}2&3&-1&|1\\1&-1&2&|-2\\3&2&-4&|0\end{bmatrix}\end{align*}
2- Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir une forme échelonnée réduite de la matrice augmentée. L’objectif est d’obtenir des zéros en dessous des éléments principaux de la diagonale.
Étape 1 : Diviser la première ligne par 2 pour obtenir un 1 en haut à gauche :\begin{align*} \begin{bmatrix}1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&|\frac{1}{2}\\1&-1&2&|-2\\3&2&-4&|0\end{bmatrix}\end{align*}Étape 2 : Soustraire la première ligne multipliée par 1 de la deuxième ligne :\begin{align*}\begin{bmatrix}1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&|\frac{1}{2}\\0&-\frac{5}{2}&\frac{5}{2}&|-\frac{5}{2}\\3&2&-4&|0\end{bmatrix}\end{align*}Étape 3 : Soustraire la première ligne multipliée par 3 de la troisième ligne :\begin{align*} \begin{bmatrix}1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&|\frac{1}{2}\\0&-\frac{5}{2}&\frac{5}{2}&|-\frac{5}{2}\\0&-\frac{1}{2}&-\frac{7}{2}&|-\frac{3}{2}\end{bmatrix}\end{align*}Étape 4 : Diviser la deuxième ligne par $-\frac{5}{2}$ pour obtenir un 1 au milieu :\begin{align*}\begin{bmatrix}1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&|\frac{1}{2}\\0&1&-1&|1\\0&-\frac{1}{2}&-\frac{7}{2}&|-\frac{3}{2}\end{bmatrix}\end{align*}Étape 5 : Soustraire la deuxième ligne multipliée par -$\frac{1}{2}$ de la troisième ligne :\begin{align*}\begin{bmatrix}1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&|\frac{1}{2}\\0&1&-1&|1\\0&0&-3&|-2\end{bmatrix}\end{align*}3. En utilisant la forme échelonnée réduite de la matrice augmentée, nous pouvons lire les solutions du système d’équations :
\begin{align*}x=1,\quad y=1,\quad z=\frac{2}{3}. \end{align*}
Méthode de la matrice inverse
Si la matrice des coefficients du système est inversible, on peut utiliser la matrice inverse pour résoudre le système. On multiplie les deux membres du système par la matrice inverse et on obtient directement les valeurs des variables. En effet comme tous systèmes d’équations linéaires sont de la forme $AX=b$ avec $A$ une matrice de taille egale au nombre d’équations linéaires et $b$ un vecteur. Si $A$ est inversible (ceci est vrai si sont determinant $\det(A)$ est non nul), alors la solution du système d’équations linéaires est $x=A^{-1}b$. Donc tous revient a bien calculer l’inverse du matric $A$.
Ces méthodes sont adaptées pour différents types de systèmes d’équations linéaires, qu’ils soient de petite ou grande dimension. Il est également possible d’utiliser des logiciels de calcul mathématique tels que MATLAB, Mathematica ou Python avec des bibliothèques comme NumPy pour résoudre les systèmes d’équations linéaires de manière efficace.
