Nombres réels

topologie-nombres-reels


Nous collectons tous les exercices corrigés sur les nombres réels. En particulier la borne supérieure et la borne inférieure. Aussi la densité de l'ensemble des rationnels dans $\mathbb{R}$. Des exercices classiques sur les nombres réels sont donnés ici avec des solutions détaillées.

Liste des liens vers les exercices corrigés sur la topologie des nombres réels 

Voici des liens vers les exercices corriges sur les nombres réels

Ensemble  nombres réels

Bornes supérieure et inférieure

Sur sous-suites, les compacts de l'ensemble de nombres réels et le théorème de Bolzano Weierstrass 


Méthode de travail pour la topologie des nombres réels 

En tant qu'étudiants en sciences mathématiques à l'université ou étudiants de classes préparatoires, vous devez apprendre les mathématiques aussi bien pratiques que théoriques.

Vous devez d'abord suivre le cours avec votre professeur en classe et essayer de comprendre l'idée de la preuve de chaque théorème et proposition du chapitre, puis reprendre le cours des leçons à la maison pour bien comprendre les démonstrations. De cette façon, vous pouvez déjà vous habituer au raisonnement mathématiques.

Pour les exercices, il faut commencer par les exercices pratiques pour s'habituer à calculer, par exemple, le calcul des limites de suites qui ont une expression bien définie, à prouver des inégalités, et à résoudre des équations algébriques. Ensuite il faut passer aux exercices théoriques surtout pour les sous-suites et le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Vous pouvez répéter la même méthode pour les autres chapitres de mathématiques.

Résumé de cours sur la topologie de $\mathbb{R}$

La valeur absolue dans $\mathbb{R}$ est définie par $|x|=\max\{x\,-x\}$ (i.e. $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x\le 0$) pour tout $x\in \mathbb{R}$. La distance entre les nombres réels est donnée par \begin{align*}d(x,y)=|x-y|, \qquad x,y\in\mathbb{R}.\end{align*} Deux nombres $x$ et $y$ sont proches l'un de l'autre si la distance  $|x-y|$ est très petite. En termes mathématiques si pour tout $\varepsilon>0$ petit que soit-il $|x-y|\le \varepsilon$.

Voici quelques propriétés importantes de la valeur absolue:

Pour tous $x,y\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$ on a  \begin{align*} & |x+y|\le |x|+|y|\cr& ||x|-|y||\le |x-y|\cr & |x^n|=|x|^n.\end{align*}

Une suite de nombres réels (ou bien une suite numérique) est une application $u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$. Par convention on note $u(n):=u_n$ si $n\in\mathbb{N}$ et la suite $u$ est notée $(u_n)_n$.  

On dit que $(u_n)_n$ a une limite $\ell\in\mathbb{R}$ et on écrit $\ell=\lim_{n\to+\infty}u_n$ ou parfois ($u_n\to \ell$ quand $n\to+\infty$), si il existe un rang (assez grand) $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge N$ le terme de la suite $u_n$ est proche de $\ell$ (i.e. la distance $|u_n-\ell|$ est très petite dès que $n\ge N$).  

En termes mathématiques, la  $\ell=\lim_{n\to+\infty}u_n$ si et seulement si \begin{align*} \forall \varepsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N}, (\forall n,\;n\ge N \Longrightarrow\; |u_n-\ell|\le \varepsilon).\end{align*}

Pour plus de définitions est une très belle discussion sur les limite de suites voire la page sur les suites

Soit $A$ une partie non vide majorée de $\mathbb{R},$ dans la borne supérieure $\sup(A)\in\mathbb{R}$ (i.e. existe dans $\mathbb{}$), alors il existe $(u_n)_n \subset A$ telle que $u_n\to\sup(A)$ quand $n\to\infty$. En fait, on sait que $\sup(A)$ est le plus petit des majortants de $A$. Donc pour tout $\varepsilon>0$, petit que soit-il, $\sup(A)-\varepsilon$ n'est pas un majorant de $A$. Ce qui signifie que il existe $u_\varepsilon\in A$ (un reel $u\in A$ qui depond de $\varepsilon$) tel que $\sup(A)-\varepsilon< u_\varepsilon \le \sup(A)$. En particulier pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$, si on prend $\varepsilon=\frac{1}{n},$ il existe $u_n\in A$ tel que $\sup(A)-\frac{1}{n}< u_n \le \sup(A)$. Donc $u_n\to \sup(A)$ quand $n\to+\infty$.

 

Enregistrer un commentaire

Post a Comment (0)

Plus récente Plus ancienne

ça peut vous intéresser