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Suites récurrentes

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Nous proposons un cours et des exercices corrigés sur les suites récurrentes. Cette classe de suites numériques est très utile dans la modélisation de problème physique, biologique, économique, … dans le cas discret.

Elles sont homologues aux équations différentielles si le temps est discret. En fait, ce sont des équations aux différences. Et sont utiliser pour modélisée des problèmes en biologie et ingénierie.

Définitions des suites récurrentes

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $I$ telle que $f(I)\subset I$.

Définition: Une suite $(u_n)_n$ est une suite récurrente si il satisfait $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$.

Une suite récurrente correspond a une équation différentielles en temps discret.

Propriétés des suites

Toute suite récurrente $(u_n)_n$ est bien définie. En effet, par définition on a $u_0\in I$, supposons que $u_n\in I$. Comme $f(I)\subset I,$ alors $u_{n+1}=f(u_n)\in I$.

Si $(u_n)_n$ est convergente vers $\ell,$ alors par continuité de $f$, on a  $u_{n+1}=f(u_n)\to f(\ell)$. Mais on sait aussi que   $u_{n+1}\to \ell$ (car $ (u_{n+1})_n$ est une sous suite de $(u_n)_n$). Par unicité de la limite on $\ell=f(\ell)$. Cet formule nous permis de déterminer la valeur de $\ell$.

Mais la question qui se pose est de savoir comment montrer qu’une série récurrente converge ? La réponse dépende de la « qualité » de la fonction $f$. Voici donc les cas possible pour la convergence:

Cas ou la fonction $f$ est croissante: Si on suppose que $I=[a,b]$ avec $a,b\in \mathbb{R}$ et $a<b,$ alors  $a\le u_n\le n$. Ceci montre que la suite $(u_n)$ est bornée. Ainsi pour que $(u_n)_n$ soit convergente il suffit qu’elle soit une suite monotone (croissante ou décroissante.) Dans note cas (cad $f$ croissante) , cette monotonie va dépendre du signe de $u_1-u_0$.  Si $u_1>u_0$, alors par récurrence on montre facilement que $(u_n)_n$ est croissante ($u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$). Donc la suite $(u_n)_n$ est convergente car elle est croissante et majorée par $b$. Si $u_1<u_0$, alors par récurrence on montre facilement que $(u_n)_n$ est décroissante ($u_{n+1}\le u_n$ pour tout $n$). Donc la suite $(u_n)_n$ est convergente car elle est décroissante et minorée par $b$.

Cas ou la fonction $f$ est décroissante: Dans ce cas le raisonnement est diffèrent. Donc on remplace $f$ par $g=f\circ f$ qui est une fonction croissante. Donc on peut appliquer le premier cas pour la fonction $g$.  

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