Exercices corrigés sur la trace de matrices

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On propose des exercices corrigés sur la trace de matrices. En effet, la trace d’une matrice jeux un rôle important dans le calcul matriciel surtout si on veux démontrer des propriétés de matrices comme par exemple les matrice semblables.

Exercice: Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n\ge 1$ et soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer que trace de $p$ coïncide avec le rang de $p$, c’est à dire: $$ {\rm tr}(p)={\rm rg}(p). $$

Solution: Comme $p$ est un projecteur alors on a la somme direct suivante $$ E={\rm Ker}(p)\oplus {\rm Im}(p). $$ De plus $p$ est la projection sur ${\rm Im}(p)$ parallèlement à ${\rm Ker}(p)$. On note par $r:=\dim({\rm Im}(p))$ et donc $\dim({\rm Ker}(p))=n-r$. Soit $B_r=(e_1,e_2,\cdots,e_r)$ une base de ${\rm Im}(p)$ et $B_{n-r}=(e_{r+1},e_{r+2},\cdots,e_n)$ une base de ${\rm Ker}(p)$. Donc $B=B_r\cup B_{n-r}=(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ est une base de $E$. Comme $p\circ p=p,$ alors les vecteurs de ${\rm Im}(p)$ sont invariants par $p$. D’autre part, les vecteurs ${\rm Ker}(p)$ sont annulés par $p$. Donc la matrice de $p$ dans la base $B$ s’écrit \begin{align*}M={\rm mat}_B(u)=\begin{pmatrix} I_r& 0_{r\times (n-r)}\\ 0_{(n-r)\times r}& 0_{n-r}\end{pmatrix}.\end{align*}Il est claire maintenant que\begin{align*}{\rm tr}(p)={\rm tr}(M)=r,\quad\text{et}\quad {\rm rg}(p)={\rm rg}(M)=r.\end{align*}

Exercice: Soit $E$ un $\mathbb{K}$-e.v. de dimension finie $n$. Soient $f\in GL(E)$ (endomorphisme inversible) et $g\in \mathcal{L}(E)$ tel ${\rm rg}(g)=1$.

  1. Montrer que $f+g$ est un automorphisme si et seulement si ${\rm tr}(g\circ f^{-1})\neq -1$.
  2. Calculer $(f+g)^{-1}$.

Solution:

  1. On pose $h=g\circ f^{-1}$ Comme $h(E)\subset g(E)$ et que ${\rm rg}(g)=1$, alors ${\rm rg}(h)=1$. On considère une base $\mathcal{B}$ associée à la décomposition $E=H\oplus\ker(h)$, où $H$ est un supplémentaire de $\ker(h)$ avec $\dim(H)=1$. Donc la matrice de l’endomorphisme $h$ dans la base $\mathcal{B}$ est donnée par \begin{align*}{\rm mat}_{\mathcal{B}}(h)=\begin{pmatrix} x_1 &\\ \vdots & 0_{n\times (n-1)}\\ x_n & \end{pmatrix}.\end{align*}Donc ${\rm tr}(h)=x_1$. D’autre part, on peut écrire \begin{align*}f+g=f+g\circ f^{-1}\circ f=f+h\circ f= (Id+h)\circ f.\end{align*}Ceci montre que $\det(f+g)=\det ((Id+h))\times \det(f)$. Comme $\det(f)\neq 0,$ alors $f+g$ est inversible si et seulement si $\det(f+g)\neq 0$ si et seulement si $\det ((Id+h))\neq 0$. D’après l’expression de la matrice de $h$ en haut, on a $\det ((Id+h))=1+x_1$. Ainsi $f+g$ est inversible si et seulement si ${\rm tr}(h)=x_1\neq -1$.

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