Exercices sur la réduction des endomorphismes

Nous proposons des exercices sur la réduction des endomorphismes. Nous vous montrons comment calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’un endomorphisme. De plus, nous donnons des exercices sur la diagonalisation et la trigonalisation des matrices.

Exercice: Soit $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ dont la matrice dans la base canonique $B_c=(e_1,e_2,e_3)$ est\begin{align*}A=\begin{pmatrix}2&0&4\\3&-4&12\\1&-2&5\end{pmatrix}.\end{align*}

  1. Montrer que $A$ est diagonalisable.
  2. Déterminer les sous-espaces propres de $f$.
  3. En déduire une base propre de $\mathbb{R}^3$ qu’on notera par la suite $B’$.
  4. Donner la nouvelle matrice de $f$ dans la base $B’$ qu’on notera $A’$, i.e. $A’={\rm mat}_{B’}(f)$.
  5. Déterminer la matrice $P$ de passage de la base $B$ à la base $B’$.
  6. Donner la formule de changement de base.
  7. Calculer les puissances $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Solution:

  1. Soit $P$ le polynôme caractéristique de $A$, i.e. $P(\lambda)=\det(A-\lambda I_3)$. Un calcul standard du déterminant nous donne\begin{align*}P(\lambda)=-\lambda (\lambda-1)(\lambda-2).\end{align*} Donc la matrice $A$ posséde trois valeurs propres simples $\lambda_0=0,\,\lambda_1=1$ et $\lambda_2=2$ (en dimension $3$), donc $A$ est diagonalisable. On rappel que l’ensemble des valeurs propores de $A$ est appelé le spèctre de $A$ et ce note par $\sigma(A)$. Dans ce cas, on $$\sigma(A)=\{0,1,2\}=\{\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2\}.$$

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