Fonctions dérivables pour lycée et terminale

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On propose des exercices corrigés sur les fonctions dérivables pour le lycée ou terminale S. En  particulier, le théorème des accroissements finis. D’autre part, on vous montrer comment montrer qu’un fonction est dérivable et calcul de ses dérivées.


Fonctions dérivables pour démontrer des inégalités 


Exercice: Montrer que pour tout $x>0$ on a $$ \arctan(x)> \frac{x^2}{1+x^2}. $$

 

Solution: Soit la fonction $f:]0,+\infty[\to \mathbb{R}$ définie par $$ f(x)=\arctan(x)-\frac{x^2}{1+x^2},\qquad x>0.$$ Cette fonction est dérivable sur $]0,+\infty[$ car c’est la le quotient et la somme des fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$. De plus on a pour tout $x>0,$\begin{align*}f'(x)&=\frac{1}{1+x^2}- \frac{2x(1+x^2)-x^2(2x)}{(1+x^2)^2}\cr &= \frac{1}{1+x^2}-\frac{2x)}{(1+x^2)^2}\cr &= \frac{1}{1+x^2} \frac{(x-1)^2}{(1+x^2)^2}.\end{align*} Ce qui montre que $f(x)>0$ pour tout $x>0$. Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. Donc \begin{align*}x>0\; \Longrightarrow\; f(x)>f(0)=0,\end{align*}ce qu’il fallait démontrer.


Sur la continuité de la fonction dérivée 


Exercice: Soit $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la fonction définie par \begin{align*}g(x)=\begin{cases} \frac{\sin(x)}{x},& n\neq 0,\cr 1,& x=0.\end{cases}\end{align*}

  1. Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner l’expression de sa fonction dérivée.
  2. Montrer que la fonction $g’$ est continue sur $\mathbb{R}$.

 

Solution: Pour que $g$ soit dérivable sur $\mathbb{R}$ is suffit qu’elle soit dérivable à la fois sur $\mathbb{R}^\ast$ est en ${0}$. En effet, la fonction $x\mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^\ast$ comme quotient de deux fonctions dérivable. De plus pour tout $x\in \mathbb{R}^\ast$ on a\begin{align*}g'(x)=\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}.\end{align*}D’autre par, pour tout $x\neq 0$ on a\begin{align*}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}&= \frac{\frac{\sin(x)}{x}-1}{x}\cr &= \frac{\sin(x)-x}{x^2}.\end{align*}On sait que\begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\sin(x)-x}{x^2}=0.\end{align*}Donc $g$ est dérivable en $0$ et $g'(0)=0$. Donc la fonctions dérivée $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est donnée par\begin{align*}g'(x)=\begin{cases} \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2},& x\mathbb{R}^\ast,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}Comme la fonction $$ x\mapsto \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2} $$ est continue sur $\mathbb{R}^\ast$ (car c’est le quotient de deux fonctions continues), alors la fonction dérivée $g’$ est continue sur $\mathbb{R}^\ast$. Maintenant regardant la continuité de $g’$ au point $0$. Pour tout réel $x\neq 0$, on a \begin{align*}g'(x)&= \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}\cr &=\frac{x\cos(x)-x+x-\sin(x)}{x^2}\cr &=x\frac{\cos(x)-1}{x^2} – \frac{\sin(x)-x}{x^2}.\end{align*}Or \begin{align*}&\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\sin(x)-x}{x^2}=0,\cr & \lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2}=-\frac{1}{2}.\end{align*}D’où \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0}g'(x)=0=g'(0).\end{align*}Ce qui implique que $g’$ est aussi continue en $0,$ donc sur tout $\mathbb{R}$.


Sur la dérivée de la fonction réciproque 


Exercice:

  1. Soient les fonctions suivantes \begin{align*}f(x)=|x|^{x}\quad\text{et}\quad g(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}.\end{align*}Peut on prolonger les fonctions $f$ et $g$ par continuité sur $\mathbb{R}$. Les prolongements sont ils dérivables au point $0$?
  2. Soit la fonction $f(t)=t^7+t$. Dire pourquoi $f$ est une bijection sur $\mathbb{R}$ et que $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. D’autre part, calculer la fonction dérivée $(f^{-1})^{‘}$. Que vaut $(f^{-1})^{‘}(0)$ et $(f^{-1})^{‘}(2)$?
  3. Soit la fonction \begin{align*}f(x)=\begin{cases} 2x^2+x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right),& x\neq 0, \cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$. Est ce que la fonction dérivée de $f$ est continue sur $[0,+\infty[$?

Solution:

  1. On peut étendre $f$ par continuité au point $0$. Déjà $f$ est bien définie et continue sur $\mathbb{R}^\ast$. Pour que $f$ soit prolongeable au point $0$ il faut que la limite de $f$ en $0$ existe. On a $$ \lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} e^{x\ln(|x|)}=1, $$ car $x\ln(|x|)\to 0$ quand $x\to 0$. Donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$ et son prolongement continu est donné par\begin{align*}\varphi(x)=\begin{cases}|x|^{x},& x\neq 0,\cr 1,& x=0.\end{cases}\end{align*}On a \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}&=\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{x\ln(|x|)}-1}{x}\cr &=\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{x\ln(|x|)}-1}{x\ln(|x|)}\,\ln(|x|).\end{align*}En faisant le changement de variable $t=x\ln(|x|)$, on a $t\to 0$ quand $x\to 0$. Donc \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{x\ln(|x|)}-1}{x\ln(|x|)}=\lim_{t\to 0,\,t\neq 0} \frac{e^t-1}{t}=e^0=1.\end{align*}D’autre part, comme $\ln(|x|)\to -\infty$ quand $x\to 0,$ alors \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}=-\infty.\end{align*}Par suite $\varphi$ n’est pas dérivable en $0$. La fonction $g$ est bien définie est continue sur $\mathbb{R}^\ast$. Comme $e^{-\frac{1}{x^2}}\to 0$ quand $x\to \infty,$ alors $g$ est prolongeable par continuité en $0$ et son prolongement continu est donné par \begin{align*}\psi(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}},& x\neq 0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}On a \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\psi(x)-\psi(0)}{x-0}&= \lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}= \lim_{t\to\infty} te^{-t^2}=0.\end{align*}Donc $\psi$ est dérivable en $0$ et $\psi'(0)=0$.
  2. On $f$ est fonction polynôme, donc elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus on a $f'(t)=7t^6+1>0$ pour tout $t\in \mathbb{R}$. Ce qui implique que la fonction $f$ est strictement croissante, d’où $f$ est bijective. Comme la fonction dérivée $f’$ ne s ‘annule pas sur $\mathbb{R},$ alors $f^{-1}$ est dérivable en tout point $x\in D(f^{-1})=\mathbb{R}$ (le domaine de définition de $f^{-1}$). On a \begin{align*}(f^{-1})^{‘}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{7(f^{-1}(x))^6+1},\qquad \forall x\in\mathbb{R}.\end{align*}On a $f(0)=0,$ donc $f^{-1}(0)=0$ et donc $(f^{-1})^{‘}(0)=0$. D’autre part, $f(1)=2,$ ce qui implique $f^{-1}(2)=1$. Ainsi $(f^{-1})^{‘}(2)=\frac{1}{8}$.
  3. Dans un premier temps nous allons étudier la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$. Déjà $f$ est continue sur $\mathbb{R}^\ast$ comme composé, produit et somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}^\ast$. Mais $|f(x)|\le 3x^2\to 0$ quand $x\to 0$. Donc $f(x)\to 0=f(0)$ quand $x\to 0$. Ceci montre que $f$ est continue en $0,$ et donc sur $\mathbb{R}$. Dans un deuxième temps; on a $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^\ast$ et $f'(x)=4x+2\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})$ pour tout $x\in\mathbb{R}^\ast$. De plus on a \begin{align*}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= 2x+x\sin(\frac{1}{x})=0.\end{align*}Donc $f$ est dérivable en $0$ et que $f'(0)=0$. Par suite $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est donnée par \begin{align*}f'(x)=\begin{cases}4x+2\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}),& x\neq 0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}Comme $\sin(\frac{1}{x})$ et $\cos(\frac{1}{x})$ n’ont pas de limite en $0$, $\lim_{x\to 0}f'(x)$ n’existe pas. Donc la fonction dérivée $f’$ n’est pas continue en $0$.

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