Fonctions de plusieurs variables exercices corrigés

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On propose des exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables. En fait, ce chapitre est à propos du calcul différentiel en dimension finie. D’autre part, le bute ici de de vous montrer comment montrer qu’une fonctions de plusieurs variables est continue; différentiable, et calcul ces dérivées partielles. Aussi, nous donnons des exercices sur les extremums des fonctions de plusieurs variables.


Continuité d'une fonction de plusieurs variables


Exercice:

  1. Soit $f$ la fonction de $ \mathbb{R}^{2} $ dans $ \mathbb{R} $ définie par: \begin{align*}f(x)= \begin{cases} \frac{x\tan y-y\tan x}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq (0,0),\cr \ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}\end{align*}Étudiez la continuité de $ f$ en $(0,0)$.
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $ \mathbb{R}^{2} $ par:\begin{align*}f(x)= \begin{cases} \frac{x^{2}y}{x^{4} -2x^{2} y + 3y^{2}},& (x,y)\neq (0,0),\cr 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}\end{align*}Montrez que la restriction de $f$ à toute droite passant par l’origine est continue. D’autre part, prouver que la fonction $f$ n’est pas continue à l’origine.
  3. Pour chaque $n\in \mathbb{N}$ on définit une fonction $f_n:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ par\begin{align*}f_n(x,y):=\begin{cases} (x+y)^n\sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right),& (x,y)\neq (0,0),\cr 0,& (x,y)=(0,0).\end{cases}\end{align*}Pour quelles valeurs de $n$ $f_n$ est continue ? différentiable à l’origine ? de classe $\mathcal{C}^{1}$ ?


Solution:

  1. Pour étudier la limite de $f (x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$, nous allons utiliser le développement limité de la fonction tangente au voisinage de l’origine qui peut s’écrire: $$ \tan u =u+\frac{u^{3}}{2}+u^{3}\varepsilon(u). $$ Avec cette notation, on a:\begin{align*}f(x,y) =\dfrac{\tfrac{1}{3}(xy^{3}-yx^{3})+x y^{3}\varepsilon(y)-y x^{3}\varepsilon(x)}{x^{2}+y^{2}}\end{align*}Choisissons la norme euclidienne $ \Vert (x,y)\Vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $, on a alors la majoration: \begin{align*}\vert f(x,y)\vert &\leqslant \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\left(\frac{1}{3}\vert xy\vert y^{2}+\frac{1}{3}\vert yx\vert x^{2}+\vert xy\vert\vert \varepsilon(y)\vert y^{2}+\vert yx\vert \vert\varepsilon(x)\vert x^{2}\right)\\ &\leqslant \vert yx\vert \left(\frac{1}{3}+\vert \varepsilon(y)\vert + \vert\varepsilon(x)\vert\right) \leqslant \Vert (x,y)\Vert^{2}\left(\frac{1}{3}+\vert \varepsilon(y)\vert + \vert\varepsilon(x)\vert\right).\end{align*}On en déduit que $$ \underset{(x,y)\mapsto (0,0)}{\lim }~f(x,y) = 0. $$ Ceci montre que $f$ est continue en $(0,0)$.
  2. Remarquons tout d’abord que la fonction est bien définie dans $ \mathbb{R}^{2} $ puisque $$ x^{4} -2x^{2} y + 3y^{2}= (x^{2} – y)^{2} + 2y^{2} $$ ne s’annule qu’en $(0,0)$. La restriction de $f$ aux droites $x = 0$ et $y = 0$ est la fonction nulle. La restriction de $ f $ à la droite $ y = mx $, avec $ m \neq 0$,donne:$$f(x,mx)=\dfrac{mx}{x^{2} -2mx y + 3m^{2}} $$ et tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Comme $f (0,0) = 0$, la restriction de $f$ à toute droite passant par l’origine est donc continue. Considérons la restriction de $f$ à la parabole $y = x^{2}$ . On a : $$ f(x,x^{2})=\dfrac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}. $$ Par conséquent, $f (x,x^{2})$ ne tend pas vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Remarque: Pour prouver qu’une fonction de plusieurs variables n’admet pas de limite en $ M_{0} $, il suffit d’expliciter une restriction à une courbe continue passant par $ M_{0} $ qui n’admette pas de limite, ou deux restrictions qui conduisent à des limites différentes. Mais pour prouver l’existence d’une limite, il faut considérer le cas général. Dans le cas de deux variables, lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ , il peut être intéressant de passer en coordonnées polaires.
  3. Il est claire que $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2\backslash{(0,0)}$ car c’est le produit et composée des fonctions de classes $\mathcal{C}^\infty$. Donc il suffit d’étudier $f_n$ au point $(0,0)$. Pour $n=0$ la fonction $f_0$ n’est pas continue en $(0,0)$. Car sur la droit $y=x$ on a pour tout $k\in\mathbb{N}^\ast,$$$f_0\left(\frac{1}{k^2},\frac{1}{k^2}\right)=\sin(k)$$ n’a pas de limite quand $k\to+\infty$. Pour $n\ge 1,$ on a $$|f_n(x,y)|\le |x+y|^n,\qquad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash{(0,0)}.$$ Ceci montrer que $f_n(x,y)$ tend vers $(0,0)=f_n(0,0)$ quand $(x,y)\to (0,0)$. D’où la continuité de $f_n$ en $(0,0)$. Pour avoir une idée sur les nombres naturels $n$ pour que la fonction $f_n$ soit différentiable en $(0,0)$ nous allons tout d abord utiliser des conditions nécessaires (mais pas suffisantes) pour la différentiabilité à savoir il faut que les dérivées partielles $f’_x(0,0)$ et $f’_y(0,0)$ existent. Comme $f(x,0)=f(0,x)$ alors il suffit donc d’utiliser seulement $f’_x(0,0)$. On a alors par définition \begin{align*} f’_x(0,0)&=\lim_{x\to 0,x\neq 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\cr &= \lim_{x\to 0,x\neq 0} x^{n-1}\sin\left(\frac{1}{|x|}\right).\end{align*}Comme la limite de la fonction sinus n’existe pas a l’infini, alors la limite en haut existe si et seulement si $n\ge 2$.

Calcul  des dérivées partielles de fonctions différentiables


Exercice: Soit $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ une fonction différentiable. Donner l’expression des dérivées partielles de la fonction $$\varphi(x,y)=f(x^2y,ye^x-\sin(y)).$$


Solution:

L’idée de reécrire $\varphi$ comme le composé de $f$ avec une autre fonction. En effet, soit la fonction $g$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $$g(x,y)=\left(x^2y,ye^x-\sin(y)\right).$$Il est claire que $g$ est de classe $C^1$ puisque les fonctions coordonnées le sont et que $\varphi=f\circ g$. Si on note par $g=(g_1,g_2),$ alors pour tout $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ ona \begin{align*}\frac{\partial(f\circ g)}{\partial x}&= \frac{\partial f}{\partial x}(g(x,y))\frac{\partial g_1}{\partial x}(x,y)+ \frac{\partial f}{\partial y}(g(x,y))\frac{\partial g_2}{\partial x}(x,y)\cr &=2xy \frac{\partial f}{\partial x}(x^2y,ye^x-\sin(y))+ye^x \frac{\partial f}{\partial y}(x^2y,ye^x-\sin(y)),\end{align*} et \begin{align*}\frac{\partial(f\circ g)}{\partial y}&= \frac{\partial f}{\partial x}(g(x,y))\frac{\partial g_1}{\partial y}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(g(x,y))\frac{\partial g_2}{\partial y}(x,y)\cr &=x^2 \frac{\partial f}{\partial x}(x^2y,ye^x-\sin(y))+(e^x-\cos(y)) \frac{\partial f}{\partial y}(x^2y,ye^x-\sin(y)).\end{align*}


La différentiabilité de la norme


Exercice: Etudier la différentiabilité de la fonction suivante $$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R},\quad f(x)=|x|.$$

 

Solution: Pour $x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ on a $f(x)=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$. Montrons que $f$ n’est pas différentiable en $0$ (intuitivement il faut penser à ceci car la fonction racine carrée n’est dérivable en $0$). En effet, la fonction $t\mapsto f(th)=|t||h|$ n’est pas dérivable en $0$. Donc $f$ n’admet pas de dérivée partielle suivant le vecteur $h\in\mathbb{R}^n\backslash{0}$ en $0$. Maintenant pour $x\neq 0$ on a \begin{align*}|x+h|&=\sqrt{|x|^2+2\langle x|h\rangle+|h|^2}\cr & = |x| \sqrt{1+\frac{2\langle x|h\rangle}{|x|^2}+\underset{|h|\to 0}{o}(|h|)}\cr &= |x|\left ( 1+\frac{\langle x|h\rangle}{|x|^2}+\underset{|h|\to 0}{o}(|h|)\right)\cr &= |x|+\frac{\langle x|h\rangle}{|x|}+\underset{|h|\to 0}{o}(|h|).\end{align*}Donc $$f(x+h)=f(x)+\frac{\langle x|h\rangle}{|x|}+\underset{|h|\to 0}{o}(|h|).$$ Comme l’application $h\mapsto \frac{\langle x|h\rangle}{|x|}$ est linéaire, alors $f$ est différentiable en $x$ et on a la differentielle de $f$ en $x$ est l’application donnée par$$Df(x): \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\quad h\mapsto Df(x).h=\frac{\langle x|h\rangle}{|x|}.$$

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