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On propose des exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables. En fait, ce chapitre est à propos du calcul différentiel en dimension finie. D’autre part, le bute ici de de vous montrer comment montrer qu’une fonctions de plusieurs variables est continue; différentiable, et calcul ces dérivées partielles. Aussi, nous donnons des exercices sur les extremums des fonctions de plusieurs variables.

Continuité d’une fonction de plusieurs variables

Exercice:

  1. Soit $f$ la fonction de $ mathbb{R}^{2} $ dans $ mathbb{R} $ définie par: begin{align*}f(x)= begin{cases} frac{xtan y-ytan x}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)neq (0,0),cr 0,&(x,y)=(0,0). end{cases}end{align*}Étudiez la continuité de $ f$ en $(0,0)$.
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $ mathbb{R}^{2} $ par:begin{align*}f(x)= begin{cases} frac{x^{2}y}{x^{4} -2x^{2} y + 3y^{2}},& (x,y)neq (0,0),cr 0,&(x,y)=(0,0). end{cases}end{align*}Montrez que la restriction de $f$ à toute droite passant par l’origine est continue. D’autre part, prouver que la fonction $f$ n’est pas continue à l’origine.
  3. Pour chaque $nin mathbb{N}$ on définit une fonction $f_n:mathbb{R}^2tomathbb{R}$ parbegin{align*}f_n(x,y):=begin{cases} (x+y)^nsin left(frac{1}{sqrt{x^2+y^2}}right),& (x,y)neq (0,0),cr 0,& (x,y)=(0,0).end{cases}end{align*}Pour quelles valeurs de $n$ $f_n$ est continue ? différentiable à l’origine ? de classe $mathcal{C}^{1}$ ?


Solution:

  1. Pour étudier la limite de $f (x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$, nous allons utiliser le développement limité de la fonction tangente au voisinage de l’origine qui peut s’écrire: $$ tan u =u+frac{u^{3}}{2}+u^{3}varepsilon(u). $$ Avec cette notation, on a:begin{align*}f(x,y) =dfrac{tfrac{1}{3}(xy^{3}-yx^{3})+x y^{3}varepsilon(y)-y x^{3}varepsilon(x)}{x^{2}+y^{2}}end{align*}Choisissons la norme euclidienne $ Vert (x,y)Vert=sqrt{x^{2}+y^{2}} $, on a alors la majoration: begin{align*}vert f(x,y)vert &leqslant dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}left(frac{1}{3}vert xyvert y^{2}+frac{1}{3}vert yxvert x^{2}+vert xyvertvert varepsilon(y)vert y^{2}+vert yxvert vertvarepsilon(x)vert x^{2}right)\ &leqslant vert yxvert left(frac{1}{3}+vert varepsilon(y)vert + vertvarepsilon(x)vertright) leqslant Vert (x,y)Vert^{2}left(frac{1}{3}+vert varepsilon(y)vert + vertvarepsilon(x)vertright).end{align*}On en déduit que $$ underset{(x,y)mapsto (0,0)}{lim }~f(x,y) = 0. $$ Ceci montre que $f$ est continue en $(0,0)$.
  2. Remarquons tout d’abord que la fonction est bien définie dans $ mathbb{R}^{2} $ puisque $$ x^{4} -2x^{2} y + 3y^{2}= (x^{2} – y)^{2} + 2y^{2} $$ ne s’annule qu’en $(0,0)$. La restriction de $f$ aux droites $x = 0$ et $y = 0$ est la fonction nulle. La restriction de $ f $ à la droite $ y = mx $, avec $ m neq 0$,donne:$$f(x,mx)=dfrac{mx}{x^{2} -2mx y + 3m^{2}} $$ et tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Comme $f (0,0) = 0$, la restriction de $f$ à toute droite passant par l’origine est donc continue. Considérons la restriction de $f$ à la parabole $y = x^{2}$ . On a : $$ f(x,x^{2})=dfrac{x^{4}}{2x^{4}}=frac{1}{2}. $$ Par conséquent, $f (x,x^{2})$ ne tend pas vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Remarque: Pour prouver qu’une fonction de plusieurs variables n’admet pas de limite en $ M_{0} $, il suffit d’expliciter une restriction à une courbe continue passant par $ M_{0} $ qui n’admette pas de limite, ou deux restrictions qui conduisent à des limites différentes. Mais pour prouver l’existence d’une limite, il faut considérer le cas général. Dans le cas de deux variables, lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ , il peut être intéressant de passer en coordonnées polaires.
  3. Il est claire que $f_n$ est de classe $mathcal{C}^infty$ sur $mathbb{R}^2backslash{(0,0)}$ car c’est le produit et composée des fonctions de classes $mathcal{C}^infty$. Donc il suffit d’étudier $f_n$ au point $(0,0)$. Pour $n=0$ la fonction $f_0$ n’est pas continue en $(0,0)$. Car sur la droit $y=x$ on a pour tout $kinmathbb{N}^ast,$$$f_0left(frac{1}{k^2},frac{1}{k^2}right)=sin(k)$$ n’a pas de limite quand $kto+infty$. Pour $nge 1,$ on a $$|f_n(x,y)|le |x+y|^n,qquad forall (x,y)inmathbb{R}^2backslash{(0,0)}.$$ Ceci montrer que $f_n(x,y)$ tend vers $(0,0)=f_n(0,0)$ quand $(x,y)to (0,0)$. D’où la continuité de $f_n$ en $(0,0)$. Pour avoir une idée sur les nombres naturels $n$ pour que la fonction $f_n$ soit différentiable en $(0,0)$ nous allons tout d abord utiliser des conditions nécessaires (mais pas suffisantes) pour la différentiabilité à savoir il faut que les dérivées partielles $f’_x(0,0)$ et $f’_y(0,0)$ existent. Comme $f(x,0)=f(0,x)$ alors il suffit donc d’utiliser seulement $f’_x(0,0)$. On a alors par définition begin{align*} f’_x(0,0)&=lim_{xto 0,xneq 0} frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}cr &= lim_{xto 0,xneq 0} x^{n-1}sinleft(frac{1}{|x|}right).end{align*}Comme la limite de la fonction sinus n’existe pas a l’infini, alors la limite en haut existe si et seulement si $nge 2$.

Calcul  des dérivées partielles de fonctions différentiables

Exercice: Soit $f:mathbb{R}^2to mathbb{R}$ une fonction différentiable. Donner l’expression des dérivées partielles de la fonction $$varphi(x,y)=f(x^2y,ye^x-sin(y)).$$


Solution:

L’idée de reécrire $varphi$ comme le composé de $f$ avec une autre fonction. En effet, soit la fonction $g$ de $mathbb{R}^2$ dans $mathbb{R}^2$ définie par $$g(x,y)=left(x^2y,ye^x-sin(y)right).$$Il est claire que $g$ est de classe $C^1$ puisque les fonctions coordonnées le sont et que $varphi=fcirc g$. Si on note par $g=(g_1,g_2),$ alors pour tout $(x,y)in mathbb{R}^2$ ona begin{align*}frac{partial(fcirc g)}{partial x}&= frac{partial f}{partial x}(g(x,y))frac{partial g_1}{partial x}(x,y)+ frac{partial f}{partial y}(g(x,y))frac{partial g_2}{partial x}(x,y)cr &=2xy frac{partial f}{partial x}(x^2y,ye^x-sin(y))+ye^x frac{partial f}{partial y}(x^2y,ye^x-sin(y)),end{align*} et begin{align*}frac{partial(fcirc g)}{partial y}&= frac{partial f}{partial x}(g(x,y))frac{partial g_1}{partial y}(x,y)+frac{partial f}{partial y}(g(x,y))frac{partial g_2}{partial y}(x,y)cr &=x^2 frac{partial f}{partial x}(x^2y,ye^x-sin(y))+(e^x-cos(y)) frac{partial f}{partial y}(x^2y,ye^x-sin(y)).end{align*}

La différentiabilité de la norme

Exercice: Etudier la différentiabilité de la fonction suivante $$f:mathbb{R}^nto mathbb{R},quad f(x)=|x|.$$

 

Solution: Pour $x=(x_1,cdots,x_n)inmathbb{R}^n$ on a $f(x)=sqrt{langle x,xrangle}=sqrt{x_1^2+x_2^2+cdots+x_n^2}$. Montrons que $f$ n’est pas différentiable en $0$ (intuitivement il faut penser à ceci car la fonction racine carrée n’est dérivable en $0$). En effet, la fonction $tmapsto f(th)=|t||h|$ n’est pas dérivable en $0$. Donc $f$ n’admet pas de dérivée partielle suivant le vecteur $hinmathbb{R}^nbackslash{0}$ en $0$. Maintenant pour $xneq 0$ on a begin{align*}|x+h|&=sqrt{|x|^2+2langle x|hrangle+|h|^2}cr & = |x| sqrt{1+frac{2langle x|hrangle}{|x|^2}+underset{|h|to 0}{o}(|h|)}cr &= |x|left ( 1+frac{langle x|hrangle}{|x|^2}+underset{|h|to 0}{o}(|h|)right)cr &= |x|+frac{langle x|hrangle}{|x|}+underset{|h|to 0}{o}(|h|).end{align*}Donc $$f(x+h)=f(x)+frac{langle x|hrangle}{|x|}+underset{|h|to 0}{o}(|h|).$$ Comme l’application $hmapsto frac{langle x|hrangle}{|x|}$ est linéaire, alors $f$ est différentiable en $x$ et on a la differentielle de $f$ en $x$ est l’application donnée par$$Df(x): mathbb{R}^2to mathbb{R},quad hmapsto Df(x).h=frac{langle x|hrangle}{|x|}.$$

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