À travers une série d’exercices exercices sur les anneaux et corps, cet article vous guidera dans l’univers complexe des anneaux et corps, des structures mathématiques essentielles. Ces exercices soigneusement conçus vous permettront de consolider vos connaissances, de perfectionner vos compétences et d’appréhender les subtilités de ces domaines. Que vous soyez étudiant, enseignant ou passionné de mathématiques, plongez-vous dans ce voyage d’apprentissage enrichissant pour renforcer votre compréhension et votre expertise en anneaux et corps.
On propose des exercices sur les anneaux et les corps. Nous considérons des exercices sur les principaux idéaux et l’anneau des polynômes.
Série d’exercices sur les anneaux et corps
Exercices sur les anneaux
Exercice 1: ⭐⭐☆☆☆ Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques $A=\{n2^{-p}:(n,p)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\}$ muni des lois usuelles est un anneau. Est-ce un corps ?
L’idée chez de chercher un anneau connu (classique) qui contient $A$ et après montrer que $A$ est un sous anneau. En effet, on a $A\subset \mathbb{R}$ et que $(\mathbb{R},+,\times)$ est un anneau. Montrons alors que $A$ est un sous anneau de $\mathbb{R}$. Remarquons tout d’abord que $1=1\times 2^{-0}$. Soit maintenant $(x,y)\in A^2,$ il existent donc $(n,m)\in\mathbb{Z}^2$ et $(p,q)\in\mathbb{Z}^2$ tels que\begin{align*}x=n2^{-p}\quad\text{et}\quad y=m2^{-q}.\end{align*}Soit $r\in\mathbb{N}$ tel que $r\ge p$ et $r\ge q$, donc $r-p\in\mathbb{N}$ et $r-q\in \mathbb{N}$. On a\begin{align*}x-y&=n2^{-p}-m2^{-q}\cr &= (n2^{r-p} 2^{-r}-m2^{r-q} 2^{-r} \cr &= (n2^{r-p}-m2^{r-q})2^{-r}\cr &= s 2^{-r}\end{align*}avec $s=n2^{r-p}-m2^{r-q}\in\mathbb{Z}$. Ceci montre que $x-y\in A$. D’autre part,\begin{align*}xy=nm 2^{-(p+q)}.\end{align*}Comme $nm\in\mathbb{Z}$ et $p+q\in\mathbb{N},$ alors $xy\in A$. Ainsi $A$ est un sous anneau de $\mathbb{R},$ donc un anneau pour les lois usuelles.
Pour que $A$ soit un corps déjà il faut que tout élément $a\in A$ admet un inverse $a^{-1}\in A$. Remarquons que $7=7\times 2^{-0}\in A$. Supposons qu’il existent $n\in\mathbb{Z}$ et $p\in\mathbb{N}$ tels que $7^{-1}=n2^{-p}\in A$. Alors $2^p=7 n,$ ce qui implique que $7$ devise $2^p,$ ce n’est pas possible. Donc $7^{-1}\notin A$, d’où $A$ n’est pas un corps.
Exercice 2:⭐☆☆☆☆ Soir $q\in \mathbb{N}$. Montrer que l’ensemble $ \mathbb{Z}[\sqrt{q}]:=\{ a+b\sqrt{q}: (a,b)\in \mathbb{Z}\}$ est un anneau de $(\mathbb{R},+,\cdot)$.
Pour montrer que l’ensemble $\mathbb{Z}[\sqrt{q}]$ est un sous-anneau de $\mathbb{R},$ nous allons utiliser la caractérisation des sous-anneaux.
$\bullet$ L’ensemble $\mathbb{Z}[\sqrt{q}]$ est non vide car il contient $0=0+0\sqrt{q}$.
On a $1\in \mathbb{Z}[\sqrt{q}]$, car $1=1+0\sqrt{q}$.
$\bullet$ Soit $x,y\in \mathbb{Z}[\sqrt{q}]$. Donc ils existent $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ tels que $$ x=a+b\sqrt{q},\quad y=c+d\sqrt{q}.$$ On a\begin{align*} &x-y=(a-c)+(b-d)\sqrt{q}\cr & xy=(ab+bdq)+(ad+bc)\sqrt{d}.\end{align*} Comme $a-c,b-d,ab+bdq$ et $ad+bc$ sont des elements de $\mathbb{Z}$, alors on a $x-y\in \mathbb{Z}[\sqrt{q}]$ et $xy\in \mathbb{Z}[\sqrt{q}]$. Ce qui montre que $\mathbb{Z}[\sqrt{q}]$ est un sous anneau de $\mathbb{R}$.
Exercice 3:⭐⭐☆☆☆ Soit $A$ un anneau qui vérifie la propriété suivante: $$ \forall x\in A,\;\exists \beta\in A:\quad x\beta x=x.$$ Dans cas on dit que $A$ est un anneau régulier. On pose $$\mathscr{C}=\{x\in A:xa=ax,\quad \forall a\in A\}.$$ Montrer que $\mathscr{C}$ est un sous-anneau de $A$. Est ce que $\mathscr{C}$ est régulier.?
Il est bien claire que $1_A\in \mathscr{C}$, et donc $\mathscr{C}$ est non vide. D’autre part, soit $x,y\in \mathscr{C}$ et soit $a\in A$. $xa=ax$ et $ya=ay$. Ainsi $(x-y)a=xa-ya=ax-ay=a(x-y)$. Ce qui implique que $x-y\in \mathscr{C}$. D’autre part, $(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)$. Ainsi $xy\in \mathscr{C}$. Alors ceci montre que $\mathscr{C}$ est un sous-anneau de $A$.
Montrons que $\mathscr{C}$ est régulier. En effet, soit $x\in\mathscr{C}\subset A$, donc par regularite de $A$, il existe $\beta\in A$ tel que $x=x\beta x$. On pose $\alpha=x\beta^2$. On a \begin{align*} x\alpha x&=x(x\beta^2)x=x(\beta x\beta )x\cr & (x\beta x)(\beta x)=x\beta x=x.\end{align*} Reste a montrer que $\alpha\in \mathscr{C}$. Soit $a\in A$. Comme $x$ commute avec tout les éléments de $A$, alors aussi $x^3$ commute avec tout les éléments de $A$. En particulier, $x^3$ commute avec $\beta^2 a\beta^2$. Donc \begin{align*} x^3 \beta^2 a\beta^2=\beta^2 a\beta^2 x^3.\end{align*} Mais $x=x\beta x=x\beta (x\beta x)=x\beta (x^2 \beta)=x^3\beta^2.$ On replaçons dans l’égalité en faut, on trouve $$ xa\beta^2=\beta^2 a x.$$ On utilise encore une fois le fait que $x$ commute avec tout les éléments de $A$ on trouve que $a\alpha=\alpha a$. Ce qui donne $\alpha\in\mathbb{C}$. Fin la la preuve!
Les Idéaux d’un corps
Exercice 4:⭐⭐☆☆☆ Montrer que Les seuls idéaux d’un corps $\mathbb{K}$ sont $\{0\}$ et $\mathbb{K}$.
Il est claire que $\{0\}$ est un idéal. Maintenant soit $I\subset \mathbb{K}$ un idéal de $\mathbb{K}$ tel que $I\neq \{0\}$. Par hypothèse il existe $x\in I$ et $x\neq 0$. Comme aussi $x\in \mathbb{K}$, par la propriété du corps, $x$ and un inverse $x^{-1}$. Comme $I$ est idéal, alors $1=xx^{-1}\in I$. Donc pour tout $z\in \mathbb{K}$ on a $z= 1 z\in I$, ce qui montrer que $\mathbb{K}\subset I$, et donc $I=\mathbb{K}$.
Conclusion: Les seuls idéaux d’un corps $\mathbb{K}$ sont $\{0\}$ et $\mathbb{K}$, comme démontré ci-dessus. Cela reflète la structure particulière des corps, où il n’y a pas d’autres sous-ensembles stables par multiplication et addition.
Annulateur et Nilradical
Exercice 5: ⭐⭐☆☆☆ Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif. Les deux questions suivantes sont indépendantes:
- Soit $X\subset A$ et soit l’ensemble suivant $$\mathscr{A}(X):=\{a\in A: ax=0,\quad \forall x\in X\}.$$ L’ensemble $\mathscr{A}(X)$ est appelé annulateur de $X$. Montrer que $\mathscr{A}(X)$ est un idéal de $A$.
- On pose $$\mathscr{N}:=\{ x\in A: \exists n\ge 1,\quad x^n=0\}.$$ Cette ensemble est appelé le nilradical de l’anneau $A$. Montrer que $\mathscr{N}$ est un idéal de $A$.
- Il est claire que $0\in \mathscr{A}(X)$. Soient $a\in A$ et $x,x’\in \mathscr{A}(X)$. Alors, d’une part, $$ a(x-x’)=ax-ax’=0-0=0.$$ D’autre part, $$ a(xx’)=(ax)x’=0\times x’=0.$$ Donc $x-x’\in \mathscr{A}(X)$ et $xx’\in \mathscr{A}(X)$. Ainsi $\mathscr{A}(X)$ est un ideal de $A$.
- Notons que $\mathscr{N}$ est un ensemble non vide puisque bien évidement $0\in \mathscr{N}$. Maintenant, soient $x,y\in \mathscr{N}$, alors par définition du Nilradical, il existent deux entiers $p\ge 1$ et $q\ge 1$ tels que $x^p=0$ et $y^q=0$. Comme $$ (xy)^p=x^py^p=0 y^p=0,$$ alors $xy\in \mathscr{N}$. D’autre part, la formule de Binôme (qu’on a le drois de l’appliquer car en travail dans un anneau commutatif), nous donne $$ (x+y)^{p+q-1}=\sum_{k=0}^{p+q-1} \binom{p+q-1}{k} x^{k}y^{p+q-1-k}.$$ Si $k\ge p$ alors $x^k=0$ (car $x^k=x^{k-p} x^p=0$). Si $k\le p-1$ on a $y^{p+q-1-k}=y^{(p-1)-k} y^q=0$. Ainsi $(x+y)^{p+q-1}=0$, ce qui preuve que $x+y\in \mathscr{N}$. D’où le résultat.
