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Exercices sur les anneaux et corps

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On propose des exercices sur les anneaux et les corps.  Nous considérons des exercices sur les principaux idéaux et l’anneau des polynômes.

Exercices sur les anneaux

Exercice: Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques $A=\{n2^{-p}:(n,p)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\}$ muni des lois usuelles est un anneau. Est-ce un corps ?

Solution: L’idée chez de chercher un anneau connu (classique) qui contient $A$ et après montrer que $A$ est un sous anneau. En effet, on a $A\subset \mathbb{R}$ et que $(\mathbb{R},+,\times)$ est un anneau. Montrons alors que $A$ est un sous anneau de $\mathbb{R}$. Remarquons tout d’abord que $1=1\times 2^{-0}$. Soit maintenant $(x,y)\in A^2,$ il existent donc $(n,m)\in\mathbb{Z}^2$ et $(p,q)\in\mathbb{Z}^2$ tels que\begin{align*}x=n2^{-p}\quad\text{et}\quad y=m2^{-q}.\end{align*}Soit $r\in\mathbb{N}$ tel que $r\ge p$ et $r\ge q$, donc $r-p\in\mathbb{N}$ et $r-q\in \mathbb{N}$. On a\begin{align*}x-y&=n2^{-p}-m2^{-q}\cr &= (n2^{r-p} 2^{-r}-m2^{r-q} 2^{-r} \cr &= (n2^{r-p}-m2^{r-q})2^{-r}\cr &= s 2^{-r}\end{align*}avec $s=n2^{r-p}-m2^{r-q}\in\mathbb{Z}$. Ceci montre que $x-y\in A$. D’autre part,\begin{align*}xy=nm 2^{-(p+q)}.\end{align*}Comme $nm\in\mathbb{Z}$ et $p+q\in\mathbb{N},$ alors $xy\in A$. Ainsi $A$ est un sous anneau de $\mathbb{R},$ donc un anneau pour les lois usuelles.

Pour que $A$ soit un corps déjà il faut que tout élément $a\in A$ admet un inverse $a^{-1}\in A$. Remarquons que $7=7\times 2^{-0}\in A$. Supposons qu’il existent $n\in\mathbb{Z}$ et $p\in\mathbb{N}$ tels que $7^{-1}=n2^{-p}\in A$. Alors $2^p=7 n,$ ce qui implique que $7$ devise $2^p,$ ce n’est pas possible. Donc $7^{-1}\notin A$, d’où $A$ n’est pas un corps.

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