Étude de fonctions pour terminale S

Certes, l’étude de fonctions pour terminale S peut être considérée comme le cœur des annales du baccalauréat. Souvent l’examen du terminal contient un problème qui contient à la fois les fonctions, les suites et les intégrales. Comme des suites récurrentes.

Exercices corrigés sur l’étude des fonctions pour la terminale S 

Problème: Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par:\begin{align*}f(x)=\frac{4}{4x^2+8x+3}.\end{align*}

1. Etudier les variations de $f$ et tracer sa courbe representative $(\mathscr{C})$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que:\begin{align*}f(x)=\frac{a}{2x+1}+\frac{b}{2x+3}.\end{align*}En déduire l’aire $A(\lambda)$ du domaine plan limité par $(\mathscr{C})$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=\lambda$ (avec $\lambda > 0$). Puis calculer\begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty} A(\lambda).\end{align*}
3. On considère la suite $(u_n)$ définie par\begin{align*}u_n=f(n),\qquad \forall n\in\mathbb{N}.\end{align*}On pose\begin{align*}S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n,\qquad \forall n\in \mathbb{N}.\end{align*}Calculer $S_n$ puis la $\underset{{n\to +\infty}}{\lim}S_n$.
4. On considère la suite $(v_n)_n$ définie par\begin{align*}\forall n\in \mathbb{N},\qquad v_n=u_n-\int^{n+1}_nf(x)dx.\end{align*}On pose\begin{align*}w_n=v_0+v_1+\cdots v_n.\end{align*}Monter que \begin{align*}w_n=S_n-\int^{n+1}_nf(x)dx.\end{align*}Calculer $\underset{{n\to +\infty}}{\lim}w_n$.

Solution:

1. Sens de variation de $f$: Déjà $f$ est définie si et seulement si $4x^2+8x+3\neq 0$. Ce qui équivalent à dire que $(2x+1)(2x+3)\neq 0$ et donc $f$ est bien définie sur\begin{align*}D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right\}.\end{align*}De plus on a\begin{align*} &\lim_{x\to -\infty} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to +\infty} f(x)=0\cr& \lim_{x\to -\frac{3}{2}^-} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\frac{3}{2}^+} f(x)=-\infty\cr&\lim_{x\to -\frac{1}{2}^-} f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to -\frac{1}{2}^+} f(x)=+\infty.\end{align*} D’autre part, $f$ est dérivable sur $D_f$ et, pour tout $x\in D_f,$ on a\begin{align*}f'(x)&=\frac{4(-8x-8)}{(4x+8x+3)^2}\cr =&\frac{-32(x+1)}{(4x+8x+3)^2}.\end{align*}Donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$, donc $f$ est croissante sur $]-\infty,-\frac{3}{2}[\cup ]-\frac{3}{2},-1]$ est décroissante sur $[-1,-\frac{1}{2}[\cup ]-\frac{1}{2},+\infty[$.
2. Calcul de $a$ et $b$: On a\begin{align*}f(x)&=\frac{a}{2x+1}+\frac{b}{2x+3}\cr &= \frac{a(2x+3)+b(2x+1)}{(2x+1)(2x+3)}\cr &= \frac{2(a+b)x+3a+b}{(2x+1)(2x+3)}.\end{align*}D’où en identifiant avec l’expression de\begin{align*}f(x)=\frac{4}{(2x+1)(2x+3)}.\end{align*}On a \begin{align*}\begin{cases} 2(a+b)=0,\cr 3a+b=4\end{cases}\; \Longleftrightarrow\;\begin{cases} a=-b\cr -2b=4\end{cases}.\end{align*}Ainsi $a=2$ et $b=-2,$ et donc On a\begin{align*}f(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{2}{2x+3}.\end{align*}Calculons l’aire $A(\lambda)$: On a\begin{align*}A(\lambda)&=\int^{\lambda}_0 f(x)dx\cr &=\int^\lambda_0 \left(\frac{2}{2x+1}-\frac{2}{2x+3}\right)dx\cr &=\left[\ln|2x+1|-\ln|2x+3|\right]^\lambda_0\cr &= \ln\left(\frac{2\lambda+1}{2\lambda+3}\right)+\ln(3).\end{align*}Comme \begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty} \frac{2\lambda+1}{2\lambda+3}=1.\end{align*}Alors \begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty}A(\lambda) = \ln(3).\end{align*}
3. On a \begin{align*}u_n=f(n)=\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{2n+3}.\end{align*}Donc \begin{align*}S_n&=u_0+u_1+\cdots+u_n\cr &= (2-\frac{2}{3})+(\frac{2}{3}-\frac{2}{5})+(\frac{2}{5}-\frac{2}{7})+\cr & \hspace{1cm} \cdots+(\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{2n+3})\cr &= 2-\frac{2}{2n+3}.\end{align*}Ainsi \begin{align*}\lim_{n\to +\infty}S_n=2.\end{align*}
4. En utilisant l’expression de $u_n$ et la relation de Chasles on trouve\begin{align*}w_n&=v_0+v_1+\cdots v_n\cr &= S_n-\int^{n+1}_0 f(x)dx\cr &= S_n-A(n+1).\end{align*}D’où \begin{align*}\lim_{n\to +\infty}w_n=2-ln(3).\end{align*}