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Espaces préhilbertiens et euclidiens

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On propose des exercices corrigés sur les espaces préhilbertiens et euclidiens. Des matrices orthogonales et endomorphismes symétriques sont aussi utiliser dans cet article.

Exercices d’apprentissage sur les espaces préhilbertiens

Exercice 1: Soient $E_1,E_2,\cdots,E_n$ des sous-espaces vectoriels orthonormés deux à deux d’un espace préhilbertien $(E,\|\cdot\|)$. Montrer que la somme $E_1+E_2+\cdots+E_n$ est directe.

Solution: Soit $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in E_1\times E_2\times\cdots\times E_n$ tel que $x_1+x_2+\cdots+x_n=0_E$. En appliquant le théorème de Pythagore, on a \begin{align*}\|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2=0\end{align*} Ce qui implique $\|x_1\|^2=\cdots=\|x_n\|^2=0$, et donc $x_i=0_E$ pour tout $i=1,2,\cdots,n$. Ce qu’il fallait démontrer.

Exercice 2: Soit $A$ et $B$ deux matrices dans l’espace des matrices $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$. On pose $\langle A,B\rangle ={\rm tr}(^tAB)$.

  1.  Montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.
  2. Montrer que la famille $\{E_{ij} : 1\le i,j\le n\}$ de matrices élémentaires de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ est une base orthonormée pour produit scalaire précédent.
  3. Montrer que la norme euclidienne associée à ce produit scalaire satisfait \begin{align*} \|AB\|\le \|A\|\,\|B\|,\quad \forall A,B,\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R}).\end{align*}
  4.  Soit $\varphi:\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ une forme linéaire. Montrer qu’il existe $A\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ tel que $\varphi(M)={\rm tr}(AM)$ pour tout $M\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.

Solution: 1- D’une part, puisque $A$ et $B$ sont dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{R}),$ alors aussi $^tAB\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$. Donc on peut calculer la trace de $^tAB,$ et par suite l’application $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est bien définie de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\times \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$. D’autre part, a\begin{align*}\langle B,A\rangle ={\rm tr}(^tBA)={\rm tr}(^t(^tAB)).\end{align*}Comme la trace est la même pour une matrice et sa transposés, alors\begin{align*}\langle B,A\rangle ={\rm tr}(^tAB)=\langle A,B\rangle.\end{align*}Ceci montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est symétrique. Pour $A,B,C\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{R},$ on a \begin{align*}\langle A,\alpha B+\beta C\rangle&={\rm tr}(^tA(\alpha B+\beta C))={\rm tr}(\alpha ^tAB+\beta ^tAC)\cr &= \alpha {\rm tr}(^tAB)+\beta {\rm tr}(^tAC)\cr & = \alpha \langle A,B\rangle+\beta \langle A,C\rangle,\end{align*} puisque la trace est linéaire. Ainsi $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est une forme bilinéaire symétrique. Montrons qu’elle est aussi postive. Pour cela on note $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$. On a alors \begin{align*} \langle A,A\rangle=\sum_{i=1}^n (^tAA)_{ii}&=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n (^tA)_{ij}(A)_{ji}\cr &= \sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n a^2_{ji}\ge 0.\end{align*} De plus si $\langle A,A\rangle=0$ alors $a^2_{ji}=0$ pour tout $i,j$, car la somme des termes positifs est nulle si tous les termes de cette somme sont également nuls. Ceci montre que $\langle \cdot,\cdot\rangle$  est un produit scalaire sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$. La norme associée à ce produit scalaire est donnée par:\begin{align*} \|A\|=\sqrt{{\rm tr}(^tAA)}=\left(\sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n a^2_{ij}\right)^{\frac{1}{2}}.\end{align*}

2- Ici, il convient de noter que $E_{ij}E_{k\ell}=\delta_{jk}E_{i\ell}$. On rappelle que $\delta_{jk}$ désigne le symbole de Kronecker, égal à 1 si $j=k$ et 0 sinon. Maintenant, pour tout $(i,j)$ et $(k,\ell)$ dans $\{1,2,\cdots,n\}^2$ on a \begin{align*} \langle E_{ij},E_{k\ell}\rangle&= {\rm tr}(^tE_{ij}E_{k\ell})={\rm tr}(E_{ji}E_{k\ell})\cr &= \delta_{ik} {\rm tr}(E_{j\ell})=\delta_{ik}\delta_{j\ell},\end{align*}car ${\rm tr}(E_{j\ell})=\delta_{j\ell}$. ainsi \begin{align*} \langle E_{ij},E_{k\ell}\rangle=\begin{cases} 1,& (i,j)=(k,\ell),\cr 0,&\text{sinon.}\end{cases}\end{align*} Donc la famille $(E_{ij})_{i,j}$ est orthonormale et donc c’est une base orthonormale de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ pour ce particulier produit scalaire.

3- Soit $A,B\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ avec $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ et soit $C=AB=(c_{ij})$. On rappelle que \begin{align*} c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.\end{align*} Donc \begin{align*} \|AB\|^2=\|C\|^2&=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n c^2_{ij}\cr &= \sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \right)^2. \end{align*} En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient  \begin{align*} \|AB\|^2&\le  \sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n a^2_{ik}\right)\left(\sum_{k=1}^nb^2_{kj} \right)\cr & = \left( \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a^2_{ik}\right)\left(\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^nb^2_{kj}\right)\cr &=\|A\|^2\|B\|^2.\end{align*} On passe à la racine carrée qui est une fonction de croisement, on obtient $\|AB\|\le \|A\|\|B\|$.

4- On $(\mathscr{M}_n(\mathbb{R}),\langle,\cdot,\cdot\rangle)$ est un espace euclidien pour le produit scalaire $\langle A,B\rangle ={\rm tr}(^tAB)$. Comme $\varphi$ est une forme linéaire sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, alors il existe $Q\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ tel que $\varphi(M)=\langle Q,M\rangle$ pour tout $M\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$. Si on pose $A=^tQ\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R}),$ alors on a $\varphi(M)={\rm tr}( ^tQ M)={\rm tr}(AM)$ pour tout $M$.

Exercice: On note par $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ l’espace des matrices carrées d’ordres $n$ de coefficients réels. On défini\begin{align*}\langle A,B\rangle ={\rm tr}(^tAB).\end{align*}

  1. Montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.
  2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $B\in \mathscrl{M}_n(\mathbb{R})$ pour que l’application\begin{align*}f: \mathscr{M}_n(\mathbb{R})\longrightarrow \mathscr{M}_n(\mathbb{R}),\quad f(A)=AB\end{align*}soit un automorphisme orthogonal de $\mathscr{M}_n(mathbb{R})$.
  3. Soit ${\rm GL}_n(\mathbb{R})$ l’espace des matrices inversible d’ordres $n$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $B\in {\rm GL}_n(\mathbb{R})$ pour que l’application $f(A)=B^{-1}AB$ soit un automorphisme orthogonal de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.

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