Nous avons préparé une série d’exercices corrigés sur les nombres complexes qui vous guideront pas à pas dans leur exploration. Que vous soyez étudiant en mathématiques, en physique, en ingénierie ou simplement curieux d’en savoir plus, ces exercices sont une ressource inestimable.
Les nombres complexes, fascinants et mystérieux, sont un concept clé en mathématiques. Ils jouent un rôle essentiel dans de nombreuses disciplines, de l’algèbre à la physique en passant par l’ingénierie. Pourtant, leur compréhension peut s’avérer délicate pour de nombreux étudiants.
Série d’exercices corrigés sur les nombres complexes
Exercice: Déterminer le module et l’argument des nombres complexes: \begin{align*}z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2},\quad z_2=e^{e^{i\beta}},\quad \beta\in\mathbb{R}.\end{align*}
On sait que $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$ et $\sin(\pi/6)=1/2$. Donc \begin{align*} z_1=\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)= \sqrt{2}\left(\cos(\frac{\pi}{6})-i \sin(\frac{\pi}{6}) \right)= \sqrt{2}e^{-i\frac{pi}{6}}.\end{align*} Ainsi le module de $z_1$ et $|z_1|=\sqrt{2}$ et l’argument est $\arg(z_1)=-\frac{\pi}{6}$. D’autre par on a \begin{align*} z_2= e^{\cos(\beta)+i\sin(\beta)}= e^{\cos(\beta)} e^{i\sin(\beta)}.\end{align*} Donc $|z_2|=e^{\cos(\beta)}$ et $\arg(z_2)=\sin(\beta)$.
Exercice: Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a\begin{align*}|e^{ix}-1|\le |x|.\end{align*}
Pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a\begin{align*}e^{ix}-1&= e^{\frac{ix}{2}} (e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}})\cr &= e^{\frac{ix}{2}} 2\sin\left( \frac{x}{2}\right).\end{align*}Comme $|\sin(y)|\le |y|$ pour tout $y\in \mathbb{R},$ alors\begin{align*}|e^{ix}-1|=2 \left| \sin\left( \frac{x}{2}\right)\right|\le 2 \left| \frac{x}{2}\right|=|x|.\end{align*}
Exercice: Soient $z,z’\in\mathbb{C}$. Soit $u$ une racine carrée de $zz’$. Montrer que\begin{align*}|z|+|z’|=\left|\frac{z+z’}{2}+u\right|+\left|\frac{z+z’}{2}-u\right|.\end{align*}
Soient $a$ et $b$ tels que $a^2=z$ et $b2=z’$. Alors on a $u=\pm ab$, par exemple $u=ab$. On a alors\begin{align*}\left|\frac{z+z’}{2}+u\right|+\left|\frac{z+z’}{2}-u\right|&= \left|\frac{a^2+b^2}{2}+ab\right|+\left|\frac{a^2+b^2}{2}-ab\right|\cr &=\left|\frac{(a+b)^2}{2}\right|+\left|\frac{(a-b)^2}{2}\right|\cr & = |a|^2+|b|^2=|z|+|z’|.\end{align*}
Exercice: Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants:\begin{align*} z_1=(5+i5)^4,\quad z_2= \left(\frac{1+i}{1+i\sqrt{3}}\right)^{40}.\end{align*}
On écrit $5+i5=3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=3\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$. Donc \begin{align*} z_1= (3\sqrt{2})^6 e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i5800.\end{align*} De même On a $1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $1+i\sqrt{3}=2 e^{i\frac{\pi}{3}}$. Donc \begin{align*} z_2&= \frac{1}{4} e^{i10\pi} e^{i\frac{40 \pi}{3}}=\frac{1}{4}e^{i\frac{4\pi}{3}}\cr &= \frac{-i}{4}e^{i\frac{\pi}{3}}\cr & \frac{\sqrt{3}}{8}-i\frac{1}{8}.\end{align*}
Exercice: Soit $z$ un nombre complexe tel que $z\neq 1$.
- Supposons que $|z|=1$. Montrer qu’il existe $\theta\in \mathbb{R}\backslash(2\pi\mathbb{Z})$ tel que \begin{align*} \frac{1+z}{1-z}=i\frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.\end{align*}
- Soit $r$ un nombre réel. Résoudre l’équation \begin{align*} \frac{1+z}{1-z}=i r.\end{align*}
- Conclure
- Puisque $|z|=1$ et $z\neq 1,$ alors il existe $\theta\in \mathbb{R}\backslash(2\pi\mathbb{Z})$ tel que $z=e^{i\theta}$. On a alors \begin{align*} \frac{1+z}{1-z}&=\frac{e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}}+e^{i\frac{\theta}{2}}\right)}{e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\right)}\cr & = i\frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.\end{align*}
- $z$ est solution de l’équation si et seulement si $1+z=i r-irz$ si et seulement si $z(1+ir)=-1+ir$. son $z=\frac{-1+ir}{1+ir}$. De plus on a $|z|=\frac{\sqrt{r^2+1}}{\sqrt{r^2+1}}|=1$.
- Des deux questions précédentes, nous concluons que \begin{align*} z\neq 1\;\text{et}\;|z|=1\Longleftrightarrow \frac{1+z}{1-z}\in i\mathbb{R}.\end{align*}
