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Endomorphismes des espaces euclidiens

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On propose des exercices corriges sur les endomorphismes des espaces euclidiens. des exercices sur les endomorphismes symétriques et isométries vectorielles.

Une sélection d’endomorphismes des espaces euclidiens

Le but de ce poste est d’introduire des exercices d’apprentissage et d’entrainement ainsi que des exercices avance sur les endomorphismes des espaces euclidiens.

Endomorphismes symétriques

Exercice: On muni $\mathbb{R}_n[X]$ ($n\ge 2$) du produit scalaire suivant \begin{align*} \langle P,Q\rangle=\int^1_{-1}P(t)Q(t)dt.\end{align*} Montrer que l’endomorphisme $\Phi$ de $\mathbb{R}_n[X]$ donné par \begin{align*} \Phi(P)=(X^2-1)\partial^2_x P+2X \partial_xP+P\end{align*} est symétrique, avec $\partial^2_x=\frac{d^2}{dx}$ c’est la dérivée seconde, et $\partial_x=\frac{d}{dx}$ c’est la dérivée première.

Solution: Tout d’abord, si $P\in \mathbb{R}_n[X],$ alors ${\rm deg}(\partial_xP)\le n-1$ et ${\rm deg}(\partial^2_x P)\le n-2,$ donc ${\rm deg}(X\partial_xP)\le n$ et ${\rm deg}((X^2-1)\partial^2_x P)\le n$. Ainsi $\Phi(P)\in \mathbb{R}_n[X]$. De plus il est claire que $\Phi$ est linéaire, ce qui donne un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.

Pour Montrer que $\Phi$ est symétrique, alors il faut vérifier que $\langle \Phi(P),Q\rangle=\langle P,\Phi(Q)\rangle$ pour tout $P,Q\in\mathbb{R}_n[X]$. En effet, on a \begin{align*} \langle \Phi(P),Q\rangle=\int^1_{-1} \left((t^2-1)(\partial^2_t P(t))Q(t)+2t (\partial_t P(t))Q(t)+P(t)Q(t)\right)dt.\end{align*} Une simple intégration par parties implique \begin{align*}\int^1_{-1} (t^2-1)(\partial^2_t P(t))Q(t)dt=-\int^1_{-1} \left(2t P'(t)Q(t)+(t^2-1)P'(t)Q'(t)\right)dt.\end{align*} On a donc \begin{align*} \langle \Phi(P),Q\rangle=\int^1_{-1} \left( P(t)Q(t)-(t^2-1)P'(t)Q'(t)\right)dt.\end{align*} Dans cette expression les polynômes $P$ et $Q$ jouent le même rôle, on a donc $\langle \Phi(P),Q\rangle=\langle P,\Phi(Q)\rangle$.

Exercice: Soit $u$ un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien $E$ non réduit au vecteur nul. Montrer que \begin{align*} \sup_{\|x\|=1}\|u(x)\|=\max_{\lambda\in {\rm Sp}(u)}|\lambda|,\end{align*}où ${\rm Sp}(u)$ est l’ensemble des valeurs propre de $u$.

Solution: Selon le théorème spectral il existe une base orthonormale $\mathscr{B}=(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ de $E$ formée par les vecteurs propres de $u$. On note par $\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$ l’ensemble des valeurs propre associées aux vecteurs propres $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$. On pose $r(u)=\max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|,\cdots,|\lambda_n|\}$. Soit $x\in E$ tel que $\|x\|=1$. On peut representer $x$ dans la base $\mathscr{B}$ par $x=\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\cdots+\alpha_n e_n$. On a $\alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2=1$. Comme $u(x)=(\lambda_1 \alpha_1)e_1+\cdots+(\lambda_n \alpha_n)e_n$, alors par le theoreme de Pythagore, \begin{align*} \|u(x)\|^2=\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \alpha_i^2\le r(u)^2 \sum_{i=1}^n \alpha_i^2=r(u)^2.\end{align*} Ceci implique $u$ est borné sur la sphère unité, et on a \begin{align*} \sup_{\|x\|=1}\|u(x)\|\le r(u).\end{align*} De plus il existe $i_0\in \{1,2,\cdots,n\}$ tel que $r(u)=|\lambda_{i_0}|$. Puisque $\|e_{i_0}\|=1$ et $\|u(e_{i_0})\|=|\lambda_{i_0}|=r(u),$ alors nous avons le résultat souhaité.

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