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Fonctions lipschitziennes

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Les théorèmes de points fixe sont basés sur les fonctions contractante, une sous classe de fonctions lipschitziennes. Aussi la théorie des équations différentielles ordinaires non-linéaires est principalement basée sur les fonctions localement lipschitziennes. Ces fonctions sont dues à Rudolf Lipschitz.

Dans ce post nous faisons un rappel sur ces fonctions et présentons également des applications classiques.

Fonctions Lipchitziennes réelles

Définition: Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Une $f:I\to \mathbb{R}$ est dite $\gamma$-lipschitzienne sur $I$ si il existe un réel $\gamma>0$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma\; |x-y|,\quad\forall x,y\in I.\end{align*} Si de plus on a $\gamma\in ]0,1[$, alors $f$ est dite fonction contractante, ou une contraction.

Exercice: Montrer que les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues.

Solution: Par hypothèse, il existe $\gamma>0$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma\; |x-y|,\quad\forall x,y\in I.\end{align*} Soit $\varepsilon>0$ et on pose $\alpha:=\frac{\varepsilon}{\gamma}$. Soit alors $x,y\in I$ tels que $|x-y|<\alpha$. Donc $\gamma |x-y|<\varepsilon$. Et par suite $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Ce qu’il fallait démontrer.

Exercices: Soit $K$ un ensemble de $\mathbb{R}$ et $f:K\to\mathbb{R}$.

  1. On suppose que la fonction $f$ dérivables sur $I$ telle que il existe $M>0$ avec $|f'(t)|\le M$ pour tout $t\in K$ (c’est a dire $f’$ est bornée sur $K$). Montrer que $f$ est une fonction lipschitzienne sur $K$.
  2. On suppose que $K$ est compact et que $f$ est de classe $C^1$ sur $K$ ($f\in C^1(K)$). Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $K$.

Solution: 1- Soit $x,y\in K$. On applique le théorème des accroissements finis a $f$ sur l intervalle d’extimités $x$ et $y$. Il existe donc $c$ strictement entre $x$ et $y$ tel que $f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$. Donc \begin{align*} |f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\le M\; |x-y|.\end{align*} 2- Comme $f\in C^1(K)$ alors $f’$ est continue sur le compact $K$. Donc $f’$ est bornée sur $K$. Donc $f$ est lipschitzienne sur $K$ d’après la question 1.

Remarque: Dans le cas ou $f$ est dérivable, pour montrer que $f$ est lipschitzienne il suffit de montrer que sa fonction dérivée est bornée.

Lipschitz dans le cadre vectoriel

La definition des fonctions lipschtziennes dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$ reste aussi vrais le cadre d’un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$, il suffit de remplacer dans la définition la valeur absolu $|\cdot|$ par la norme $\|\cdot\|$.

Exercice: Soient $a,\in\mathbb{R}$ avec $0<a<b$ et soit l’espace $\mathscr{C}([a,b])$ muni de la norme uniforme $\|f\|_\infty:=\sup_{t\in [a,b]}|f(t)|$. Soit l’application $T: \mathscr{C}([a,b])\to \mathbb{R}$ définie par \begin{align*} T(f)=\int^b_a \sin(f(t))dt,\qquad f\in \mathscr{C}([a,b]).\end{align*} Montrer que $f$ est une application lipschtizienne.

Solution: Rappelons tout d’abord que la fonction sinus $x\mapsto \sin(x)$ est une fonction Lipschtzienne sur $R$. Plus précisément nous avons $|\sin(x)-\sin(y)|\le |x-y|$ pour tout $x,y\in\mathbb{R}$. Maintenanat, soient $f,g\in \mathscr{C}([a,b]),$ alors \begin{align*}|T(f)-T(g)|&= \left| \int^b_a (\sin(f(t))-\sin(g(t)))dt\right|\cr & \le \int^b_a |\sin(f(t))-\sin(g(t))|dt \cr & \le \int^b_a |f(t)-g(t)|dt \cr & \le (b-a) \|f-g\|_\infty.\end{align*} Ainsi $T$ est $(b-a)$-lipschtzienne. Elle est contractante si de plus on a $0<b-a<1$.

Exercice: Soit $\mathscr{C}([0,1])$ muni de la norme uniforme $\|\cdot\|_\infty$ et $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction $\gamma_r$-lipschitzenne sur $[-r,r]$ pour tour $r\ge 0$. Soit maintenanat $(F(u))(s)=\varphi(u(s))$ pour tout $s\in [0,1]$ et tout $u\in \mathscr{C}([0,1])$. Montrer que $F$ est une application lipschitzienne sur toutes les boules fermées de $\mathscr{C}([0,1])$. Puis montrer que $F$ est continue sur $\mathscr{C}([0,1])$.

Solution: Soient $u,v\in\overline{B}(0,r)$ pour un certain $r>0$. Donc $\|u\|_\infty,\|v\|_\infty<r$, ce qui implique que $|u(s)|\le r$ et $|v(s)|\le r$ pour tout $s\in [0,1]$. Comme $\varphi$ est $\gamma_r$-lipschitzienne sur $[-r,r],$ alors pour tout $s\in [0,1]$,\begin{align*}|\varphi(u(s))-\varphi(v(s))|\le \gamma_r |u(s)-v(s)|\le \gamma_r\|u-v\|_\infty.\end{align*} Ceci montre que pour tout $s\in [0,1],$ on a $|(F(u))(s)-(F(v))(s)|\le \gamma_r \|u-v\|_\infty$. Ainsi \begin{align*} \|F(u)-F(v)\|_\infty\le \gamma_r \|u-v\|_\infty.\end{align*} Pour montrer que $F$ est continue sur $\mathscr{C}([0,1])$, soit $(u_n)_n\subset X$ tel que $u_n\to u$ quand $n\to \infty$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty$. On pose alors $R:=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|u_n\|_\infty$. Par passge a la limite on a aussi $\|u\|_\infty\le R$. Comme $F$ est $\gamma_R$-lipschitzienne, alors pour tout $n,$ on a \begin{align*} \|F(u)-F(u_n)\|_\infty\le \gamma_R \|u-u_n\|_\infty.\end{align*} Comme $\|u-u_n\|_\infty\to 0,$ alors $\|F(u)-F(u_n)\|_\infty\to 0$ quand $n\to\infty$. Ainsi $F$ est continue sur $\mathscr{C}([0,1])$.

Exercice: Pour $\gamma>0$, on note par ${\rm Lip}_\gamma(0,1)$ l’espace des fonctions $\gamma$-lipschitziennes sur $[0,1]$. De plus on pose $\mathscr{D}_\gamma:=\{f\in \mathscr{C}^1([0,1]):\|f\|_\infty\le \gamma\}$.

  1. Montrer que $\mathscr{D}_\gamma\subset {\rm Lip}_\gamma(0,1)\subset \mathscr{C}([0,1])$.
  2. Montrer que ${\rm Lip}_\gamma(0,1)$ est fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$ et que $\mathscr{D}_\gamma$ n’est pas fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$.

Solution: 1- L’implication $\mathscr{D}_\gamma\subset {\rm Lip}_\gamma(0,1)$ découle facilement du théorème des accroissements finis (voir un exercice en haut de la page). L’autre implication est claire.

2- Soit $(f_n)_n\subset {\rm Lip}_\gamma(0,1)$ and $f\in \mathscr{C}([0,1])$ tel que $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ quand $n\to\infty$. Comme la convergence uniforme de suites de fonctions implique la convergence simple, alors on a \begin{align*} |f(s)-f(t)|=\lim_{n\to\infty} |f_n(s)-f_n(t)|\le \gamma |s-t|,\quad \forall t,s\in [0,1].\end{align*} Donc $f\in {\rm Lip}_\gamma(0,1)$. Ainsi ${\rm Lip}_\gamma(0,1)$ est fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$. Soit maintenant $f_n(s)=\gamma\,\sqrt{(s-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^ast$ et $s\in [0,1]$. Il est facile de voir que $(f_n)_n\subset \mathscr{D}_\gamma$. De plus si $f(s)=\gamma |s-\frac{1}{2}|$ pour $s\in [0,1]$. Alors \begin{align*} |f_n(s)-f(s)|&=\gamma \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{(s-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}}+|s-\frac{1}{2}|}\cr & \le \frac{\gamma}{n} \frac{1}{|s-\frac{1}{2}|}\le \frac{2\gamma}{n}.\end{align*} Ceci implique que $\|f_n-f\|_\infty\le \frac{2\gamma}{n}$ et donc $f_n\to f$ dans $\mathscr{C}([0,1])$. Mais $f$ n’est pas dérivable en $\frac{1}{2}$. Donc $f\not\in \mathscr{D}_\gamma$. Par suite $\mathscr{D}_\gamma$ n’est pas fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$.

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