Exercices sur les nombres complexes pour Math sup

Nous proposons des exercices corrigés sur les nombres complexes pour Math sup. En fait, ce cours est déjà vu dans le terminal scientifique. Cependant, nous donnons ici des exercices classiques sur les nombres complexes et la trigonométrie.

Exercice: Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a\begin{align*}|e^{ix}-1|\le |x|.\end{align*}

Solution: Pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a\begin{align*}e^{ix}-1&= e^{\frac{ix}{2}} (e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}})\cr &= e^{\frac{ix}{2}} 2\sin\left( \frac{x}{2}\right).\end{align*}Comme $|\sin(y)|\le |y|$ pour tout $y\in \mathbb{R},$ alors\begin{align*}|e^{ix}-1|=2 \left| \sin\left( \frac{x}{2}\right)\right|\le 2 \left| \frac{x}{2}\right|=|x|.\end{align*}

Exercice: Soient $z,z’\in\mathbb{C}$. Soit $u$ une racine carrée de $zz’$. Montrer que\begin{align*}|z|+|z’|=\left|\frac{z+z’}{2}+u\right|+\left|\frac{z+z’}{2}-u\right|.\end{align*}

Solution: Soient $a$ et $b$ tels que $a^2=z$ et $b2=z’$. Alors on a $u=\pm ab$, par exemple $u=ab$. On a alors\begin{align*}\left|\frac{z+z’}{2}+u\right|+\left|\frac{z+z’}{2}-u\right|&= \left|\frac{a^2+b^2}{2}+ab\right|+\left|\frac{a^2+b^2}{2}-ab\right|\cr &=\left|\frac{(a+b)^2}{2}\right|+\left|\frac{(a-b)^2}{2}\right|\cr & = |a|^2+|b|^2=|z|+|z’|.\end{align*}

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