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Nombres complexes

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Les nombres complexes sont des nombres composés de deux parties: un nombre réel et un nombre imaginaire. Exercices corrigés sur ces nombres son proposés avec solutions. En fait, ce cours est déjà vu au Lycée. Cependant, nous donnons ici des exercices classiques sur les nombres complexes et la trigonométrie.

Exercices corrigés sur les nombres complexes 

Exercice: Déterminer le module et l’argument des nombres complexes: \begin{align*}z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2},\quad z_2=e^{e^{i\beta}},\quad \beta\in\mathbb{R}.\end{align*}Solution: On sait que $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$ et $\sin(\pi/6)=1/2$. Donc  \begin{align*} z_1=\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)= \sqrt{2}\left(\cos(\frac{\pi}{6})-i \sin(\frac{\pi}{6}) \right)= \sqrt{2}e^{-i\frac{pi}{6}}.\end{align*} Ainsi le module de $z_1$ et $|z_1|=\sqrt{2}$ et l’argument est $\arg(z_1)=-\frac{\pi}{6}$. D’autre par on a \begin{align*} z_2= e^{\cos(\beta)+i\sin(\beta)}= e^{\cos(\beta)} e^{i\sin(\beta)}.\end{align*} Donc $|z_2|=e^{\cos(\beta)}$ et $\arg(z_2)=\sin(\beta)$.

Exercice: Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a\begin{align*}|e^{ix}-1|\le |x|.\end{align*}

Solution: Pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a\begin{align*}e^{ix}-1&= e^{\frac{ix}{2}} (e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}})\cr &= e^{\frac{ix}{2}} 2\sin\left( \frac{x}{2}\right).\end{align*}Comme $|\sin(y)|\le |y|$ pour tout $y\in \mathbb{R},$ alors\begin{align*}|e^{ix}-1|=2 \left| \sin\left( \frac{x}{2}\right)\right|\le 2 \left| \frac{x}{2}\right|=|x|.\end{align*}

Exercice: Soient $z,z’\in\mathbb{C}$. Soit $u$ une racine carrée de $zz’$. Montrer que\begin{align*}|z|+|z’|=\left|\frac{z+z’}{2}+u\right|+\left|\frac{z+z’}{2}-u\right|.\end{align*}

Solution: Soient $a$ et $b$ tels que $a^2=z$ et $b2=z’$. Alors on a $u=\pm ab$, par exemple $u=ab$. On a alors\begin{align*}\left|\frac{z+z’}{2}+u\right|+\left|\frac{z+z’}{2}-u\right|&= \left|\frac{a^2+b^2}{2}+ab\right|+\left|\frac{a^2+b^2}{2}-ab\right|\cr &=\left|\frac{(a+b)^2}{2}\right|+\left|\frac{(a-b)^2}{2}\right|\cr & = |a|^2+|b|^2=|z|+|z’|.\end{align*}

Exercice: Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants:\begin{align*} z_1=(5+i5)^4,\quad z_2= \left(\frac{1+i}{1+i\sqrt{3}}\right)^{40}.\end{align*}

Solution: On écrit $5+i5=3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=3\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$. Donc \begin{align*} z_1= (3\sqrt{2})^6 e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i5800.\end{align*} De même On a $1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $1+i\sqrt{3}=2 e^{i\frac{\pi}{3}}$. Donc \begin{align*} z_2&= \frac{1}{4} e^{i10\pi} e^{i\frac{40 \pi}{3}}=\frac{1}{4}e^{i\frac{4\pi}{3}}\cr &= \frac{-i}{4}e^{i\frac{\pi}{3}}\cr & \frac{\sqrt{3}}{8}-i\frac{1}{8}.\end{align*}

Exercice: Soit $z$ un nombre complexe tel que $z\neq 1$. 

  1.  Supposons que $|z|=1$. Montrer qu’il existe $\theta\in \mathbb{R}\backslash(2\pi\mathbb{Z})$ tel que \begin{align*} \frac{1+z}{1-z}=i\frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.\end{align*}
  2. Soit $r$ un nombre réel. Résoudre l’équation \begin{align*}  \frac{1+z}{1-z}=i r.\end{align*}
  3. Conclure.

Solution: 1- Puisque $|z|=1$ et $z\neq 1,$ alors il existe $\theta\in \mathbb{R}\backslash(2\pi\mathbb{Z})$ tel que $z=e^{i\theta}$. On a alors \begin{align*} \frac{1+z}{1-z}&=\frac{e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}}+e^{i\frac{\theta}{2}}\right)}{e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\right)}\cr & = i\frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.\end{align*}2- $z$ est solution de l’équation si et seulement si $1+z=i r-irz$ si et seulement si $z(1+ir)=-1+ir$. son $z=\frac{-1+ir}{1+ir}$. De plus on a $|z|=\frac{\sqrt{r^2+1}}{\sqrt{r^2+1}}|=1$.

3- Des deux questions précédentes, nous concluons que \begin{align*} z\neq 1\;\text{et}\;|z|=1\Longleftrightarrow \frac{1+z}{1-z}\in i\mathbb{R}.\end{align*}

Utilisations du plan complexe

Les nombres complexes peuvent être utilisés pour résoudre des équations algébriques de la forme $ax2 + bx + c = 0$ si le discriminant $\Delta=b^2-4ab<0$ et aussi dans les série entière complexe et en général l’analyse complexe. Ils sont également utilisés en sciences physiques. Notamment en électronique et en électromagnétisme.

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