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Nombres complexes

Nous allons explorer un concept mathématique passionnant et un peu mystérieux : les nombres complexes. Ne vous inquiétez pas, nous allons briser les barrières des équations et des formules pour rendre cela aussi clair que de l’eau de roche. Prêts ? C’est parti !

Qu’est-ce qu’un Nombre Complexe ?

Alors, imaginez que les nombres réels sont comme une rue à une seule voie. Ils sont super utiles pour mesurer des choses comme la longueur d’une corde ou la température extérieure. Mais parfois, on a besoin d’aller un peu plus loin, de prendre une petite ruelle sinueuse. C’est là que les nombres complexes entrent en jeu.

Un nombre complexe est comme une paire magique de nombres réels. On les appelle « complexes » parce qu’ils sont un peu plus mystérieux que les nombres que nous connaissons. Chaque nombre complexe est composé de deux parties : une partie réelle (comme notre rue à une voie) et une partie imaginaire (c’est comme prendre cette ruelle sinueuse).

Les Parties Réelles et Imaginaires

D’accord, mais comment fait-on pour écrire ces nombres ? Facile ! On dit que les nombres complexes sont de la forme

$$ z=a+ib,\quad a,b\in\mathbb{R}.$$ Ici $a$ est la partie réelle et $b$ est la partie imaginaire.

Le « i » est comme une étiquette spéciale pour la partie imaginaire. Il représente la racine carrée de -1, $$i^2=-1.$$ (ouais, c’est un peu bizarre, mais ça marche pour les nombres complexes).

L’ensemble des tous les nombres complexes est notée par $\mathbb{C}$.

Opérations avec les Nombres Complexes

Maintenant, la partie vraiment cool. Comment faisons-nous des calculs avec ces nombres mystérieux ? C’est simple, vraiment. Ajouter, soustraire et même multiplier des nombres complexes, c’est comme jouer avec des LEGO mathématiques. Voici comment ça marche :

Addition : Vous ajoutez simplement les parties réelles et les parties imaginaires séparément. En effet, si $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, alors

$$ (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d).$$

Soustraction : C’est similaire à l’addition, mais vous soustrayez au lieu d’ajouter. On a

$$ (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).$$

Multiplication : Multiplier des nombres complexes est un peu plus rusé, mais ne vous inquiétez pas, nous avons une formule pour cela. On alors

$$ (a+ib)\times(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).$$

Conjugué et inverse d’un nombre complexe

Les concepts de conjugué et d’inverse dans le monde des nombres complexes apportent une touche de symétrie et d’équilibre intrigante à cette sphère mathématique.

Le conjugué d’un nombre complexe, tel que $z=a+ib$ est comme son reflet dans un miroir mathématique. En remplaçant simplement le coefficient de la partie imaginaire par son négatif, nous obtenons le conjugué, soit $\overline{z}=a-ib$.

Ce concept trouve une utilité profonde dans diverses applications, notamment dans la simplification des expressions et la division de nombres complexes.

Parallèlement, tout nombre complexe non nul $z=a+ib$, admet un inverse $\frac{1}{z}$ donne par

$$ \frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.$$

Propriétés du conjugué

Le conjugué d’un nombre complexe possède plusieurs propriétés intéressantes et utiles qui jouent un rôle important dans les calculs et les manipulations algébriques. Voici quelques-unes de ces propriétés clés:

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Alors on \begin{align*} & \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\cr & \overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}\cr &\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\cr & \forall z_2\neq 0,\quad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\cr & z_1+\overline{z_1}=2 {\rm Re}(z_1),\cr & z_1-\overline{z_1}=2i {\rm Im}(z_1)\cr & z:=a+ib,\quad z\cdot \overline{z}=a^2+b^2. \end{align*}

Module d’un nombre complexe: propriétés

Le module d’un nombre complexe est une mesure de sa distance par rapport à l’origine dans le plan complexe. En d’autres termes, c’est la longueur du vecteur qui relie le nombre complexe à zéro (l’origine) dans le plan complexe. Le module est également connu sous le nom de magnitude ou valeur absolue d’un nombre complexe.

Le module d’un nombre complexe $z=a+ib,$ noté par $|z|,$ est donné par $$ |z|=\sqrt{z\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

En utilisant la définition du module, considérons un nombre complexe $z=a+ib$, on a $|z|=0$ est équivalent à $a^2+b^2=0$, ce qui donne $a=b=b=0$, et par suite $z=0$. Ainsi $|z|=0$ si et seulement si $z=0$.

D’autre part, si $w$ est un autre nombre complexe alors $|z\cdots w|^2 = zw\cdot \overline{z}\overline{w}=(z\overline{z})(w\overline{w}).$ Ainsi $ |z\cdot w|^2=|z|^2 | w|^2$, et donc$$ |z\cdot w|=|z| | w|.$$ Avec un calcul similaire, on peut aussi voir que $$ |z+w|\le |z|+|w|,\quad |\frac{z}{w}|=\frac{|z|}{|w|}.$$

La fonction exponentielle complexe

C’est une fonction de la forme $$ e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta),\qquad \theta\in\mathbb{R}.$$ Remarquons que le module de ce nombre complexe egale a 1, $ |e^{i\theta}|=1$. D’autre part, si $z=a+ib$ est un nombre complexe avec $a,b\in\mathbb{R}$, alors $ e^z=e^a e^{ib}$, et donc $|e^z|=e^a$. Donc il faut faire attention le module de $e^z$ n’est pas egale a 1, mais il est de la forme $$ |e^z|=e^{{\rm Re}(z)}.$$ On peut aussi definir $e^z$ comme une série de Taylor de la l’exponentielle complexe. Cette fonction complexe est aussi importante dans la théorie d’analyse complexe et le calcul fonctionnelle pour les opérateur lineaires

Argument et forme trigonormétrique d’un nombre complexe

Pour tout nombre complexe $z\in \mathbb{C}$ non nul, il existe un nombre réel $\theta$ tel que $$ z=|z| e^{i\theta}.$$ Le nombre $\theta$ s’appel un argument de $z$ et se note par $\theta=\arg(z)$. De plus l’expression $ z=|z| e^{i\theta}$ s’appelle la forme trigonométrique de $z$.

Remarquons aussi que $e^{i\theta}=e^{i(\theta+2k\pi)}$ for $k\in \mathbb{Z}$. Donc deux arguments de $z$ sont égaux modulo $2\pi$. On a aussi propriétés algébriques de l’argument

Pout tout nombres complexes non nuls $z_1$ et $z_2$ on a \begin{align*} & \arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)[2\pi]\cr & \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)[2\pi]\cr& \arg(\overline{z_1})=-\arg(z_1)[2\pi].\end{align*}