Exercices corrigés sur les applications linéaires

Nous proposons des exercices corrigés sur les applications linéaires. En particulier, on donnes des applications du théorème du rang. De plus on s’intéressent à la représentation des applications linéaires par des matrices.

Exercice: Soit $E=C([a,b],\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ vers $\mathbb{R}$.

  1. On défini $$ L(f)=\int^b_a f(t)dt,\quad \forall f\in E. $$ Montrer que $L$ est une forme linéaire.
  2. Soit $t_0\in [a,b]$. On défini une application (de Dirac en $t_0$) par $$\delta_{t_0}:E\to \mathbb{R},\quad\delta_{t_0}(f)=f(t_0).$$ Montrer que $\delta_{t_0}$ est linéaire.
  3. Montrer que l’application $\varphi:\mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X],$ $\varphi(P)=P’$ est linéaire.

Solution:

  1. Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et $f,g\in E$. Alors on a\begin{align*}L(f+\lambda g)&=\int^b_a (f+\lambda g)(t)dt\cr &= \int^b_a (f(t)+\lambda g(t))dt\cr &=\int^b_a f(t)dt+\lambda \int^b_a g(t)dt\cr &= L(f)+\lambda L(g).\end{align*}
  2. Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et $f,g\in E$. Alors on a \begin{align*}\delta_{t_0}(f+\lambda g)&=(f+\lambda g)(t_0)\cr &= f(t_0)+\lambda g(t_0)\cr &=\delta_{t_0}(f)+\lambda \delta_{t_0}(g).\end{align*}
  3. Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et deux polyômes $P,Q\in \mathbb{R}[X]$. On a \begin{align*}\varphi(P+\lambda Q)&=(P+\lambda Q)’\cr &= P’+\lambda Q’\cr &=\varphi(P)+\lambda \varphi(Q).\end{align*}

Exercice: On note par $E=\mathbb{R}[X]$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes à coificients réels.

  1. Soit l’application $$ f:E\to E,\quad f(P)=P’ $$ Montrer que $f$ est un endomorphisme (dérivée) surjectif qui n’est pas injectif. Donner un supplémentaire de $\ker(f)$.
  2. Soit l’application $$ g:E\to E,\quad \left(g(P)\right)(x)=\int^x_0 P(t)dt,\quad \forall x\in \mathbb{R}. $$ Montrer que $g$ est un endomorphisme injectif qui n’est pas surjectif. Calculer ${\rm Im}(g)$.

Solution:

  1. D’après l’exercice précédent on a $f$ est un endomorphisme. On $P\in \ker(f)$ si et seulement si $f(P)=0$ si et seulement si $P’=0$ si et seulement si $P$ est le polynôme constant. Donc n est pas forcément nul et donc le noyau $\ker(f)$ n’est pas réduit a ${0},$ ainsi $f$ n’est pas injectif. Montrons que $f$ est surjectif. Pour cela il faut montrer que pour tout $Q\in E$ il existe $P\in E$ tel que $f(P)=Q$. Il suffit de choisir $$ P(x)=\int^x_0 Q(t)dt,\qquad \forall x\in \mathbb{R}. $$ Il est claire que $P’=Q$ et donc $f(P)=Q$. Donnons maintenant un supplémentaire de $\ker(f)$. Soit l’ensemble $$ N={P\in E: P(0)=0}. $$ Il est claire que $N$ est un sous espace vectoriel de $E$. Soit $P\in N\cap \ker(f)$ alors d’après la discussion en haut $P$ est un polynôme constant. Et puisque $P(0)=0,$ alors $P$ est le polynôme nul. Ainsi $N\cap \ker(f)={0}$. D’autre par pour tout $P\in E$ on peut écrire $$ P=(P-P(0))+P(0):=Q+R $$ avec $Q=P-P(0)\in N$ car $Q(0)=0$ et $R=P(0)$ polynôme constant donc $R\in \ker(f)$. D’où $E=N\oplus \ker(f)$.
  2. Comme l’intégral est linéaire, alors $g$ est une endomorphisme. Soit $P\in \ker(g)$, alors $$ \forall x\in\mathbb{R},\qquad \int^x_0 P(t)dt=0. $$ En dérive cet intégral on trouve que $P(x)=0$ pour tout $x\in\mathbb{R},$ donc $P$ est le polynôme nul. D’où $\ker(g)={0}$. Ceci implique que $g$ est injectif. Montrons que $g$ n’est pas surjectif. Soit $Q\in {\rm Im}(g)$. Alors il existe $P\in E$ tel que $$ Q(x)=\int^x_0 P(t)dt,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$ En particulier on a $Q(0)=0$. Remarquons que le polynôme constant $2$ n’appartient pas à ${\rm Im}(g)$ car il n’est pas nul en $0$. Ceci montre que ${\rm Im}(g)$ est strictement inclu dans $E,$ et donc $g$ n’est pas surjectif. Maintenant calculons ${\rm Im}(g)$. Déjà on a vue que $$ {\rm Im}(g)\subset {P\in E:P(0)=0}. $$ Inversement, soit $P\in E$ tel que $P(0)=0$. On remarque que $$ \forall x\in\mathbb{R},\qquad P(x)=P(x)-P(0)=\int^x_0 P'(t)dt= (g(P’))(x). $$ Donc $P=g(P’)\in{\rm Im}(g)$. Ainsi $$ {\rm Im}(g)= {P\in E:P(0)=0}. $$

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