Accueil Math I Exercices corrigés sur les applications linéaires

Exercices corrigés sur les applications linéaires

537

Nous proposons des exercices corrigés sur les applications linéaires. En particulier, on donnes des applications du théorème du rang. De plus on s’intéressent à la représentation des applications linéaires par des matrices.

Une selection d’exercices corrigés sur les applications linéaires

Exercice: Soit $E=C([a,b],\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ vers $\mathbb{R}$.

  1. On défini $$ L(f)=\int^b_a f(t)dt,\quad \forall f\in E. $$ Montrer que $L$ est une forme linéaire.
  2. Soit $t_0\in [a,b]$. On défini une application (de Dirac en $t_0$) par $$\delta_{t_0}:E\to \mathbb{R},\quad\delta_{t_0}(f)=f(t_0).$$ Montrer que $\delta_{t_0}$ est linéaire.
  3. Montrer que l’application $\varphi:\mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X],$ $\varphi(P)=P’$ est linéaire.

Solution:

  1. Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et $f,g\in E$. Alors on a\begin{align*}L(f+\lambda g)&=\int^b_a (f+\lambda g)(t)dt\cr &= \int^b_a (f(t)+\lambda g(t))dt\cr &=\int^b_a f(t)dt+\lambda \int^b_a g(t)dt\cr &= L(f)+\lambda L(g).\end{align*}
  2. Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et $f,g\in E$. Alors on a \begin{align*}\delta_{t_0}(f+\lambda g)&=(f+\lambda g)(t_0)\cr &= f(t_0)+\lambda g(t_0)\cr &=\delta_{t_0}(f)+\lambda \delta_{t_0}(g).\end{align*}
  3. Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et deux polyômes $P,Q\in \mathbb{R}[X]$. On a \begin{align*}\varphi(P+\lambda Q)&=(P+\lambda Q)’\cr &= P’+\lambda Q’\cr &=\varphi(P)+\lambda \varphi(Q).\end{align*}

Exercice: On note par $E=\mathbb{R}[X]$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes à coificients réels.

  1. Soit l’application $$ f:E\to E,\quad f(P)=P’ $$ Montrer que $f$ est un endomorphisme (dérivée) surjectif qui n’est pas injectif. Donner un supplémentaire de $\ker(f)$.
  2. Soit l’application $$ g:E\to E,\quad \left(g(P)\right)(x)=\int^x_0 P(t)dt,\quad \forall x\in \mathbb{R}. $$ Montrer que $g$ est un endomorphisme injectif qui n’est pas surjectif. Calculer ${\rm Im}(g)$.

Solution:

  1. D’après l’exercice précédent on a $f$ est un endomorphisme. On $P\in \ker(f)$ si et seulement si $f(P)=0$ si et seulement si $P’=0$ si et seulement si $P$ est le polynôme constant. Donc n est pas forcément nul et donc le noyau $\ker(f)$ n’est pas réduit a $\{0\},$ ainsi $f$ n’est pas injectif. Montrons que $f$ est surjectif. Pour cela il faut montrer que pour tout $Q\in E$ il existe $P\in E$ tel que $f(P)=Q$. Il suffit de choisir $$ P(x)=\int^x_0 Q(t)dt,\qquad \forall x\in \mathbb{R}. $$ Il est claire que $P’=Q$ et donc $f(P)=Q$. Donnons maintenant un supplémentaire de $\ker(f)$. Soit l’ensemble $$ N=\{P\in E: P(0)=0\}. $$ Il est claire que $N$ est un sous espace vectoriel de $E$. Soit $P\in N\cap \ker(f)$ alors d’après la discussion en haut $P$ est un polynôme constant. Et puisque $P(0)=0,$ alors $P$ est le polynôme nul. Ainsi $N\cap \ker(f)=\{0\}$. D’autre par pour tout $P\in E$ on peut écrire $$ P=(P-P(0))+P(0):=Q+R $$ avec $Q=P-P(0)\in N$ car $Q(0)=0$ et $R=P(0)$ polynôme constant donc $R\in \ker(f)$. D’où $E=N\oplus \ker(f)$.
  2. Comme l’intégral est linéaire, alors $g$ est une endomorphisme. Soit $P\in \ker(g)$, alors $$ \forall x\in\mathbb{R},\qquad \int^x_0 P(t)dt=0. $$ En dérive cet intégral on trouve que $P(x)=0$ pour tout $x\in\mathbb{R},$ donc $P$ est le polynôme nul. D’où $\ker(g)=\{0\}$. Ceci implique que $g$ est injectif. Montrons que $g$ n’est pas surjectif. Soit $Q\in {\rm Im}(g)$. Alors il existe $P\in E$ tel que $$ Q(x)=\int^x_0 P(t)dt,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$ En particulier on a $Q(0)=0$. Remarquons que le polynôme constant $2$ n’appartient pas à ${\rm Im}(g)$ car il n’est pas nul en $0$. Ceci montre que ${\rm Im}(g)$ est strictement inclu dans $E,$ et donc $g$ n’est pas surjectif. Maintenant calculons ${\rm Im}(g)$. Déjà on a vue que $$ {\rm Im}(g)\subset \{P\in E:P(0)=0\}. $$ Inversement, soit $P\in E$ tel que $P(0)=0$. On remarque que $$ \forall x\in\mathbb{R},\qquad P(x)=P(x)-P(0)=\int^x_0 P'(t)dt= (g(P’))(x). $$ Donc $P=g(P’)\in{\rm Im}(g)$. Ainsi $$ {\rm Im}(g)= \{P\in E:P(0)=0\}. $$
Article précédentExercices sur l’ensemble de nombres réels
Article suivantExercices sur les espaces vectoriels