Exercices sur l'ensemble de nombres réels

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Nous proposons des exercices sur l’ensemble de nombres réels. En particulier, des exercices sur la topologie des nombres réels. En effet, nous allons montrer que l’ensemble des nombres rationnels est dense dans l’ensemble des nombres réels. Cette propriété joue un rôle important pour le prolongement des fonctions et d’autres propriétés d’analyse mathématiques.

La valeur absolue des nombres réels

On rappelle que la valeur absolue d'un nombre réels $x$ est donnée par $|x|=\max\{x,-x\}$. De plus la distance entre deux réels $x,y$ est définie par  $d(x,y)=|x-y|$. On a les proprietes suivantes: $|x|=0$ est equivalent a $x=0$, $|xy|=|x||y|$, et $|x+y|\le |x|+|y|$.

Exercice: Monter que pour tout $x,y\in\mathbb{R},$ \begin{align*} \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\le \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}.\end{align*}

Solution:  Un calcul direct sera difficile. Nous allons donc procéder différemment. En effet, on considère la fonction $f : [0, + \infty [\to \mathbb{R}$ définie par\begin{align*}f(t)=\frac{t}{1+t},\quad t\ge 0.\end{align*} Si nous nous souvenons du programme du secondaire, nous remarquons que la fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que $f'(t)=t/(1+t)^2\ge 0$ pour tout $t\ge 0$. Ainsi $f$ est une fonction croissante sur $[0,+\infty[$. D'autre part, comme $|x+y|\le |x|+|y|,$ alors $f(|x+y|)\le  |x|+|y|,$ ce qui donne \begin{align*} \frac{|x+y|}{1+|x+y|}&\le \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}\cr & \le \frac{|x|}{1+|x|+|y|}+\frac{||y|}{1+|x|+|y|}.\end{align*} Comme $1+|x|+|y|\ge 1+|x| $ et $1+|x|+|y|\ge 1+|y| $, alors \begin{align*}&\frac{|x|}{1+|x|+|y|}\le \frac{|x|}{1+|x|}\cr & \frac{|y|}{1+|x|+|y|}\le \frac{y|}{1+|x|}.\end{align*} Ce qui implique le résultat souhaité.

Exercice: Soit $p,q\in\mathbb{Z}$ tel que $q>0$. Montrer qu'il existe une constante $\lambda>0$ telle que  \begin{align*}\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\ge \frac{\lambda}{q^2}.\end{align*}

Solution: On a \begin{align*} \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)\right|&= \left| 2-\frac{p^2}{q^2}\right|\cr &= \frac{|2q^2-p^2|}{q^2}.\end{align*}
Comme $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ alors $\sqrt{2}\neq \frac{p}{q},$  donc $2q^2-p^2\neq 0$, ce qui donne $|2q^2-p^2|\in \mathbb{N}^\ast$. Donc on a $|2q^2-p^2|\ge 1$. On en déduit alors \begin{align*} \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)\right|\ge \frac{1}{q^2}.\end{align*} On distingue deux cas: Premier cas: Si $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\ge \frac{1}{q^2},$ alorsle résultat est démontré en prenant $\lambda=1$. Deuxième cas: si $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\le \frac{1}{q^2},$ alors \begin{align*} \left|\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right|&=\left|2\sqrt{2}+(\frac{p}{q}-\sqrt{2})\right|\cr & \le 2\sqrt{2}+\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\cr & \le 2\sqrt{2}+\frac{1}{q^2}\le 2\sqrt{2}\cr &\le 4.\end{align*} Ainsi \begin{align*} 4 \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\right| &\ge \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\right|\left|\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)\right|\cr & \ge \frac{1}{q^2}.\end{align*} D'où le résultat en prenant $\lambda=\frac{1}{4}$. 

Densité des nombres rationnels 

Exercice:

  1. Montrer que l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
  2. Soient $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ tel que pour tout $x\in\mathbb{Q}$ on a $f(x) < g(x)$. Montrer $f\leq g$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Montrer que l’ensemble $A=\{r^3: r\in\mathbb{Q}\}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Solution:

  1. Il suffit de montrer que l’adhérence de $\mathbb{Q}$ c’est $\mathbb{R}$ tout entier ($\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$). En effet, soit $x\in \mathbb{R}$. Soit la suite $$ u_n=\frac{E((n+1)x)}{n+1},\quad n\in\mathbb{N}. $$ Ici $E(y)$ signifie la partie entière d’un nombre réels $y$. Il faut remarquer que $(u_n)_n\subset \mathbb{Q}$. De plus, on a $E((n+1)x)\le (n+1)x< E((n+1)x)+1$. Donc $$(n+1)x-1 < E((n+1)x)\le (n+1)x. $$ Ce qui implique que $$ x-\frac{1}{n+1} < u_n\le x,\qquad \forall n\in\mathbb{N}. $$ Ainsi $u_n\to x$ quand $n\to+\infty$. Ce qui donne $x\in \overline{\mathbb{Q}},$ et par suite $\mathbb{R}\subset\overline{\mathbb{Q}}$, puisque déjà on sait que $\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{R}$, alors $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$.
  2. Soit $x\in \mathbb{R}$. Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R},$ il existe une suite de rationnels $(x_n)\subset \mathbb{Q}$ telle que $x_n\to x$ quand $n\to+\infty$. Comme $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R},$ alors $f(x_n)\to f(x)$ et $g(x_n)\to g(x)$ quand $n\to+\infty$. Ceci montrer que pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge n_0$ on a $f(x)\leq f(x_n)+\varepsilon$. Comme les $x_n\in\mathbb{Q},$ on a par hypothèse $f(x_n) < g(x_n)$. Par suite $f(x)< g(x_n)+\varepsilon$ pour tout $n\ge n_0$ et pour tout $\varepsilon>0$. Maintenant en faisant tendre $n\to+\infty$ dans la dernière inégalité on trouve $f(x) \le g(x)+\varepsilon$. En suite en fait tendre $\varepsilon\to 0$ on obtient $f(x)\le g(x)$.
  3. Soit $x\in \mathbb{R}$. Comme $x^{\frac{1}{3}}\in\mathbb{R},$ alors d’après la question 1, il existe une suites de nombres rationnels $(r_n)_n \subset \mathbb{Q}$ tel que $r_n\to x^{\frac{1}{3}}$ quand $n\to +\infty$. Alors $r_n^3\to x$ quand $n\to +\infty$. Comme $(r_n^3)_n\subset A$, alors $A$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Exercice: Nous allons montrer que l’ensemble $D$ des nombres réels de la forme $p+q\sqrt{2}$ où $p,q\in\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

  1. Soit $u=\sqrt{2}-1>0$. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $u^n\in D$.
  2. Soit $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $b>a$. Montrer qu’il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $0 < u^{n_0} < b-a$.
  3. Montrer qu’il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $a < m u^{n_0} < b$.
  4. Que peut on conclure ?.

Solution:

  1. Il faut remarquer que $u\in D$ (il suffit de prendre $p=-1$ et $q=1$). Par récurrence, supposons que $u^n\in D$. Donc il existe $p_n,q_n\in\mathbb{Z}$ tel que $u^n=p_n+q_n\sqrt{2}$. Maintenant, on a \begin{align*}u^{n+1}&= u u^n= (\sqrt{2}-1)(p_n+q_n\sqrt{2})\cr &= (2q_n-p_n)+(p_n-q_n)\sqrt{2}.\end{align*}Comme $2q_n-p_n\in\mathbb{Z}$ et $p_n-q_n\in\mathbb{Z}$, alors $u^{n+1}\in D$. D’où le résultat.
  2. La suite $(u^n)$ est une suite géométrique de raison $u\in ]0,1[$. Donc $u^n$ tends vers $0$ quand $n\to +\infty$. Par application de la définition des limite de suite, si on prend $\varepsilon:=b-a>0,$ il va exister $n_0\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge n_0$ on a $0 < u^n =|u^n-0| < \varepsilon=b-a$. En particulier pour $n=n_0$ on a $0 < u^{n_0} < b-a$.
  3. D’après la question 2, on a $a < a+u^{n_0} < b$. Comme $u^{n_0}\neq 0,$ alors $$a < \left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right)u^{n_0} < b.$$ En prend la partie entière $$m:=E\left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right)\in\mathbb{Z}. $$ On a alors (voir exercice 2), $$ \left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right)-1 < m \le \left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right).$$ Ce qui donne $$ a < m u^{n_0} < a+u^{n_0} < b. $$
  4. Comme $m\in \mathbb{Z}$ et $u^{n_0}\in D,$ alors $r_0=m u^{n_0}\in D$. On a montrer que pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ tel que $b>a$ il existe $r_0\in D$ tel que $a < r_0 < b$. Ceci monter que $D$ est dense dans $\mathbb{R}$.

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