Exercices corrigés sur les séries de fonctions sont proposés. Des séries dont le terme général est une suite de fonctions. Donc on a deux types de convergences, à savoir, la convergence simple et uniforme. Ces dernier sont facile a obtenir si on applique bien les critères de comparaisons.
Paquet d’exercices corrigés sur les séries de fonctions
Exercice: Etudier la convergence simple, normale est uniforme de la série de fonctions $\sum u_n(x)$ avec: \begin{align*}u_n(x)=\frac{x}{(1+nx)(1+(n+1)x)} ,\quad (x\in\mathbb{R}^+).\end{align*}
Solution: On remarque que pour tout $x\ge 0$ and $n\ge 1$ on a\begin{align*}\frac{x}{(1+nx)(1+(n+1)x)}=\frac{1}{1+nx}-\frac{1}{1+(n+1)x}.\end{align*}Alors la suite des sommes partielles,\begin{align*}S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_n(x)=1-\frac{1}{1+(n+1)x}.\end{align*}Ce qui implique que $S_n(x)$ converge vers $1$ quand $n\to+\infty$ pour tout $x>0$, et vers $0$ si $x=0$. Donc la série de fonction $\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ définie par\begin{align*}f(x)=\begin{cases} 1,& x>0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}La fonction $f$ n’est pas continue sur $\mathbb{R}^+$. Comme les fonctions $u_n$ sont continues sur $\mathbb{R}^+,$ alors la convergence de la série n’est pas uniforme sur $\mathbb{R}^+$, car sinon la limite $f$ sera aussi continue sur $\mathbb{R}^+$. D’autre part, soit $a>0$ un réel. Alors on a\begin{align*}\sup_{x\ge a} |S_n(x)-1|\le \frac{1}{1+(n+1)a}.\end{align*}Donc la série $\sum u_n(x)$ converge uniformément vers la fonction constante égale à $1$ sur $[a,+\infty[$.
Exercice: Soit la série de fonctions $\sum_{n\ge 0} x^{2n}$. Etudier la convergence simple de cette série de fonctions sur $[0,1[,$ la convergence uniforme sur $[0,\beta]$ avec $0<\beta<1,$ et la convergence uniforme sur $[0,1[$.
Solution: Soit $(S_n)_n$ la suite des sommes partielles. Alors pour tout $x\in [0,1[$ on a $0\le x^2<1$ et pour tout $N\in\mathbb{N},$\begin{align*} S_N(x)=\sum_{n=0}^N (x^2)^n=\frac{1-(x^2)^{N+1}}{1-x^2}.\end{align*} Comme $(x^2)^{N+1}\to 0$ quand $N\to+\infty,$ alors la suite de fonctions $S_N$ converge simplement vers la fonction $f:[0,1[\to\mathbb{R}$ donnée par $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$. Soit $\beta\in ]0,1[$. Pour tout $x\in [0,\beta]$ on a $|x^{2n}|\le (\beta^2)^n$, ce qui implique que la série de fonctions $\sum_{n\ge 0} x^{2n}$ converge normalement, donc uniformément sur $[0,\beta]$. D’autre part, par l’absurde, on suppose que $S_N$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1[$. On a \begin{align*} |S_N(x)-f(x)|=\left|\frac{1-(x^2)^{N+1}}{1-x^2}-\frac{1}{1-x^2}\right|=\frac{(x^2)^{N+1}}{1-x^2}.\end{align*} Comme $a_N=1-\frac{1}{N}\in [0,1[$ pour tout $N\in \mathbb{N}^\ast,$ alors \begin{align*} \sup_{x\in [0,1[}|S_N(x)-f(x)|\ge \frac{(a_N^2)^{N+1}}{1-a_N^2}=N^2\frac{a_N^{2N+2}}{2N-1}.\end{align*} Il connu que $a_N\to e^{-1}$ quand $N\to+\infty$. Donc \begin{align*} N^2\frac{a_N^{2N+2}}{2N-1}\sim \frac{N}{2e^2}\to +\infty \quad (N\to\infty).\end{align*} Ainsi la convergence de la série de fonctions n’est pas uniforme sur $[0,1[$.
Exercice: On considère la suite de fonction $f_n:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ définie par \begin{align*} f_n(x)=(-1)^n\frac{e^{-nx}}{n+1},\quad n\in\mathbb{N},\quad x\ge 0.\end{align*}
- Montrer que la série de fonction $\sum_n f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$.
- Montrer que $\sum_n f_n$ converge normalement sur $[\beta,+\infty[$ pour tout $\beta>0$. Que se passe-t-il sur $[0,+\infty[$ ou $]0,+\infty[$ ?
- Montrer que $\sum_n f_n$ converge uniformement sur $\mathbb{R}^+$.
Solution: 1- D’une part, $f_n(0)=\frac{(-1)^n}{n+1}$ est le terme général d’une série numérique alternée, donc converge. D’autre part, pour $x>0,$ (fixer) on a $n^2 |f_n(x)|\to 0$ quand $n\to +\infty$. Donc par comparaison avec la série de Riemann ($\alpha=2$), la série $\sum_{n\ge 0}f_n(x)$ converge. Ce qui implique que la série de fonctions $\sum_{n\ge 0}f_n$ converge simplement sur $[0,+\infty[$.
2- Soit $\beta>0$. Pour tout $x\in [\beta,+\infty[$, on a $|f_n(x)|\le (e^{-\beta})^n$, pour tout $n$. Comme $e^{-\beta}\in ]0,1[,$ alors la série numérique $\sum_n (e^{-\beta})^n$ converge. par suite la serie de fonctions $\sum_n f_n$ converge normalement sur $[\beta,+\infty[$. Comme la le maximum de la fonction $x\mapsto e^{-n x}$ sur $[0,+\infty[$ est égale a $1$, alors $\sup_{x\ge 0}|f_n(x)|=\frac{1}{n+1}$. Comme la serie Harmonique de terme général $\frac{1}{n+1}$ est divergente (il faut remarquer que $\frac{1}{n+1}\sim \frac{1}{n}$ quand $n\to\infty$), alors la convergence de la série de fonctions $\sum_n f_n$ n’est uniforme sur $\mathbb{R}^+$. La même chose sur $]0,+\infty[$.
3- La majoration du reste d’une série satisfaisant aux hypothèses du théorème des séries alternées, nous donne \begin{align*} |R_n(x)|\le |f_{n+1}(x)|=\frac{e^{-(n+1)x}}{n+2}\le \frac{1}{n+2},\quad x\ge 0.\end{align*} Donc \begin{align*} \sup_{x\ge 0}\left|\sum_{n=0}^\infty f_n(x)-\sum_{n=0}^N f_n(x)\right|&= \sup_{x\ge 0}|R_N(x)|\cr & \le \frac{1}{N+2}\to 0\quad (N\to\infty).\end{align*}Ainsi la serie de fonctions $\sum_n f_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^+$.
