Il est important de fournir des exercices sur les groupes pour les étudiants en terminale S qui se préparent au baccalauréat en sciences mathématiques. Bien que la théorie des groupes puisse être considérée comme une partie complémentaire du programme, il est vrai que cela peut parfois faire l’objet d’un exercice dans les tests du terminal S. Les groupes sont un concept fondamental en mathématiques abstraites et ont de nombreuses applications en mathématiques et dans d’autres domaines, tels que la physique.

Une sélection d’exercices sur les groupes pour terminale S

Groupe des matrices

Sur une loi interne particulière

Remarque: D’autres exercices plus difficiles sur des groupes. Voir aussi les annales du bac.

Nous vous proposons une sélection d’extraits des annales de mathématiques pour terminale A, baccalauréat scientifique. En effet, nous traitons des problèmes qui combinent l’étude des fonctions avec des intégrales et des suites de nombres réels. De plus, nous donnerons des problèmes sur des nombres complexes.

Extraits des annales de mathématiques pour terminale sur les suites

Problème: Soit la suite numérique réelle $(u_n)$ définie par \begin{align*}u_{n}=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right),\qquad \forall n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}

1. Calculer $u_{n+1}-u_n$ et déduire que la suite $(u_n)_n$ est décroissante.
2. On pose $v_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$. Calculer $v_n$ en fonction de $n,$ puis la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. La suite $(v_n)$ est-elle convergente ?
3. On pose $w_n=u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{2n}$. Calculer $w_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $w_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. la suite $(w_n)_n$ est elle convergente ?

Solution:

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right)-\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\cr & = \ln\left(\frac{n+2}{n+1}\frac{n}{n+1}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right).\end{align*}D’autre part, $0 < n^2+2n < n^2+2n+1$, ce sui implique que\begin{align*}0 < \frac{n^2+2n}{n^2+2n+1} < 1.\end{align*}Par suite \begin{align*}\ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right) < 0.\end{align*}Donc pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$ $u_{n+1}-u_n < 0$. En conséquence la suite $(u_n)_n$ est strictement décroissante.
2. On a \begin{align*}v_n&=u_1+u_2+\cdots+u_n\cr & = \ln\left(\frac{2}{1}\right)+\ln\left(\frac{3}{2}\right)+\ln\left(\frac{4}{3}\right)+\cdots+\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{2}{1}\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots\times \frac{n+1}{n}\right)\cr &= \ln(n+1).\end{align*}D’où \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} v_n=+\infty.\end{align*}Donc la suite $(v_n)_n$ est divergente.
3. Pour tout $n\in \mathbb{N}^\ast$ on a\begin{align*}W_n&=u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{2n}\cr & = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)+\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right)+\ln\left(\frac{n+3}{n+2}\right)+\cdots+\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n+1}{n}\times \frac{n+2}{n+1}\times\frac{n+3}{n+2}\times \cdots\times \frac{2n+1}{2n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{2n+1}{n}\right).\end{align*} Ce qui implique \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} w_n=\ln(2).\end{align*}Donc la suite $(v_n)_n$ est convergente.

Probleme (suites et nombres complexes): Les suites géométriques complexes sont définies de la même manière que les suites géométriques réelles. Considérons la suite géométrique complexe $(u_n)_n$ définie par: \begin{align*} u_0=1\quad\text{et}\quad u_n=\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{4}\right)u_{n-1},\quad \forall n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}

1.  Calculer le module et l’argument de la raison $q:=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}$ de la suite $(u_n)$. Ecrire les nombres complexes $u_1,u_2,u_3$ et $u_4$ sous forme algébrique et trigonométrique.
2.  Calculer $u_n$ en fonction de $n$. Préciser le module et l’argument de $u_n$.
3. Pour quelles valeurs de l’entier naturel $n,$ $u_n$ est-il réel?
4. Calculer, si elle existe, la limite du module $|u_n|$ de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini.
5. Calculer le plus petit nombre naturel $n_0$ tel que, pour tout nombre naturel $n$ supérieur à $n_0,$ on ait $|u_n|<10^{-3}$.

Solution:

1.  On a \begin{align*} q&=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cr&=\frac{1}{2}\left(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}\right).\end{align*} D’où $|q|=\frac{1}{2}$ et $\arg q\equiv \frac{\pi}{3}\;[2\pi]$. En appliquant la relation $(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ pour tour $n\in\mathbb{N}$ et $\theta\in\mathbb{R}$, on a \begin{align*} &u_1=u_0 q=q=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}= \frac{1}{2}\left(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}\right)\cr & u_2=u_0 q^2=\frac{1}{4}\left(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{8}+i\frac{\sqrt{3}}{8},\cr & u_3=u_0 q^3=\frac{1}{8} (\cos(\pi)+i\sin(\pi))=-\frac{1}{8},\cr & u_4=\frac{1}{16}(\cos(\frac{4\pi}{3})+i\sin(\frac{4\pi}{3}))=-\frac{1}{32}-i\frac{\sqrt{3}}{32}.\end{align*}
2. Déterminer $u_n$ en fonction de $n$. On a $u_n=u_0 q^n$, et donc \begin{align*} u_n=\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{4}\right)^n=\frac{1}{2^n} (\cos(\frac{n\pi}{3})+\sin(\frac{n\pi}{3})),\quad \forall n\in \mathbb{N}.\end{align*} Ainsi $|u_n|=\frac{1}{2^n}$ et $\arg u_n=n\frac{\pi}{3}\;[2\pi]$.
3.  $u_n\in\mathbb{R}$ si et seulement si $\frac{1}{2^n}\sin(n\frac{\pi}{3})=0$ si et seulement si $n\frac{\pi}{3}=k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}^+$ (car $n\in\mathbb{N}$) si et seulement si $n=3k$ pour tout $k\in\mathbb{N}$. Ce qui donne $n\in3\mathbb{N}$ ($3\mathbb{N}$ étant l’ensemble des multiples de $3$).
4.  Pour la limite on a \begin{align*} \lim_{n\to+\infty}|u_n|=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0\quad (\text{car}\; 0<\frac{1}{2}<1.\end{align*}
5. Détermination de $n_0$: on a \begin{align*} |u_n|<10^{-3}\Longleftrightarrow \frac{1}{2^n}<10^{-3}\Longleftrightarrow 2^n>10^3.\end{align*} En applicant la croissance de la fonction $x\mapsto\log(x)$, on trouve $n\log(2)>3$, et donc $n>\frac{3}{\log(2)}=9.96$. Comme $10$ est l’entier naturel le plus proche supérieur à $9.96$, on a alors $n_0=9$. Ainsi $|u_n|<10^{-3}$ dès que $n>n_0=9$.

Certes, l’étude de fonctions pour terminale S peut être considérée comme le cœur des annales du baccalauréat. Souvent l’examen du terminal contient un problème qui contient à la fois les fonctions, les suites et les intégrales. Comme des suites récurrentes.

Exercices corrigés sur l’étude des fonctions pour la terminale S 

Problème: Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par:\begin{align*}f(x)=\frac{4}{4x^2+8x+3}.\end{align*}

1. Etudier les variations de $f$ et tracer sa courbe representative $(\mathscr{C})$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que:\begin{align*}f(x)=\frac{a}{2x+1}+\frac{b}{2x+3}.\end{align*}En déduire l’aire $A(\lambda)$ du domaine plan limité par $(\mathscr{C})$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=\lambda$ (avec $\lambda > 0$). Puis calculer\begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty} A(\lambda).\end{align*}
3. On considère la suite $(u_n)$ définie par\begin{align*}u_n=f(n),\qquad \forall n\in\mathbb{N}.\end{align*}On pose\begin{align*}S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n,\qquad \forall n\in \mathbb{N}.\end{align*}Calculer $S_n$ puis la $\underset{{n\to +\infty}}{\lim}S_n$.
4. On considère la suite $(v_n)_n$ définie par\begin{align*}\forall n\in \mathbb{N},\qquad v_n=u_n-\int^{n+1}_nf(x)dx.\end{align*}On pose\begin{align*}w_n=v_0+v_1+\cdots v_n.\end{align*}Monter que \begin{align*}w_n=S_n-\int^{n+1}_nf(x)dx.\end{align*}Calculer $\underset{{n\to +\infty}}{\lim}w_n$.

Solution:

1. Sens de variation de $f$: Déjà $f$ est définie si et seulement si $4x^2+8x+3\neq 0$. Ce qui équivalent à dire que $(2x+1)(2x+3)\neq 0$ et donc $f$ est bien définie sur\begin{align*}D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right\}.\end{align*}De plus on a\begin{align*} &\lim_{x\to -\infty} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to +\infty} f(x)=0\cr& \lim_{x\to -\frac{3}{2}^-} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\frac{3}{2}^+} f(x)=-\infty\cr&\lim_{x\to -\frac{1}{2}^-} f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to -\frac{1}{2}^+} f(x)=+\infty.\end{align*} D’autre part, $f$ est dérivable sur $D_f$ et, pour tout $x\in D_f,$ on a\begin{align*}f'(x)&=\frac{4(-8x-8)}{(4x+8x+3)^2}\cr =&\frac{-32(x+1)}{(4x+8x+3)^2}.\end{align*}Donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$, donc $f$ est croissante sur $]-\infty,-\frac{3}{2}[\cup ]-\frac{3}{2},-1]$ est décroissante sur $[-1,-\frac{1}{2}[\cup ]-\frac{1}{2},+\infty[$.
2. Calcul de $a$ et $b$: On a\begin{align*}f(x)&=\frac{a}{2x+1}+\frac{b}{2x+3}\cr &= \frac{a(2x+3)+b(2x+1)}{(2x+1)(2x+3)}\cr &= \frac{2(a+b)x+3a+b}{(2x+1)(2x+3)}.\end{align*}D’où en identifiant avec l’expression de\begin{align*}f(x)=\frac{4}{(2x+1)(2x+3)}.\end{align*}On a \begin{align*}\begin{cases} 2(a+b)=0,\cr 3a+b=4\end{cases}\; \Longleftrightarrow\;\begin{cases} a=-b\cr -2b=4\end{cases}.\end{align*}Ainsi $a=2$ et $b=-2,$ et donc On a\begin{align*}f(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{2}{2x+3}.\end{align*}Calculons l’aire $A(\lambda)$: On a\begin{align*}A(\lambda)&=\int^{\lambda}_0 f(x)dx\cr &=\int^\lambda_0 \left(\frac{2}{2x+1}-\frac{2}{2x+3}\right)dx\cr &=\left[\ln|2x+1|-\ln|2x+3|\right]^\lambda_0\cr &= \ln\left(\frac{2\lambda+1}{2\lambda+3}\right)+\ln(3).\end{align*}Comme \begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty} \frac{2\lambda+1}{2\lambda+3}=1.\end{align*}Alors \begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty}A(\lambda) = \ln(3).\end{align*}
3. On a \begin{align*}u_n=f(n)=\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{2n+3}.\end{align*}Donc \begin{align*}S_n&=u_0+u_1+\cdots+u_n\cr &= (2-\frac{2}{3})+(\frac{2}{3}-\frac{2}{5})+(\frac{2}{5}-\frac{2}{7})+\cr & \hspace{1cm} \cdots+(\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{2n+3})\cr &= 2-\frac{2}{2n+3}.\end{align*}Ainsi \begin{align*}\lim_{n\to +\infty}S_n=2.\end{align*}
4. En utilisant l’expression de $u_n$ et la relation de Chasles on trouve\begin{align*}w_n&=v_0+v_1+\cdots v_n\cr &= S_n-\int^{n+1}_0 f(x)dx\cr &= S_n-A(n+1).\end{align*}D’où \begin{align*}\lim_{n\to +\infty}w_n=2-ln(3).\end{align*}

Nous proposons un résumé de cours sur les suites pour terminal S (scientifique). Nous donnons une explication simple et rigoureuse du concept de convergence. Ensuite, nous introduisons des méthodes simples et efficaces pour montrer la convergence des suites de nombres réels.

Des annales corrigés sur les intégrales pour bac sont proposés. Ce sont des sujets corrigées du baccalauréat scientifique sur les intégrales. Il est entendu que chaque année l’intégrale est incluse dans le sujet du baccalauréat. Vous devez donc maîtriser le calcul intégral. C’est le but de cet article. Pour le niveau bac, les intégrales sont simplement définies pour des fonctions continues sur des intervalles bornés (calculer l’aire sous la courbe d’une fonction). Mais au niveau supérieur on peut aussi parler d’intégrale d’une fonction bornée à condition qu’elle satisfasse une autre condition supplémentaire.

Une sélection d’annales corrigés sur les intégrales pour bac

Problème: Soit la fonction définie par \begin{align*}g(x)=\int^x_{\frac{1}{x}} \frac{\ln(t)}{t}dt.\end{align*}

1. Trouver le domaine $D_g$ sur lequel la fonction est définie.
2. Montrer que $g$ est dérivable sur $D_g$ et calculer $g'(x)$ pour tout $x\in D_g$.
3. Montrer que $g$ est la fonction nulle

Solution:

1. Soit la fonction $f$ définie par \begin{align*}f(t)=\frac{\ln(t)}{t}.\end{align*} Remarquons que la fonction $f$ est seulement définie sur l’intervalle $(0,+\infty)$. Ainsi la quantité $g(x)$ is bien définie si et seulement si $x\in (0,+\infty)$. D’où $D_g=(0,+\infty)$.
2. Comme $f$ est continue sur $(0,+\infty)$, alors on a le droit de considérer  la primitive $F$ de la fonction $f$. On a alors\begin{align*}F(x)=\int^x_c f(t)dt\end{align*}avec $c\ge 0$ une constante réelle. On sait que la fonction $F$ dérivable sur $(0,+\infty)$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in (0,+\infty)$. D’autre part, on a\begin{align*}g(x)&=\int^x_c f(t)dt+\int^c_{\frac{1}{x}}f(t)dt\cr &= F(x)-F\left(\frac{1}{x}\right)\end{align*}pour tout $x\in (0,+\infty)$. Donc $g$ est dérivable sur $(0,+\infty)$ . De plus, pour tout $x>0,$\begin{align*}g'(x)&=F'(x)-\left(F\left(\frac{1}{x}\right)\right)’\cr &= f(x)- \left(\frac{1}{x}\right)’ F’\left(\frac{1}{x}\right)\cr &= \frac{\ln(x)}{x}+\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)\cr &= \frac{\ln(x)}{x}-\frac{\ln(x)}{x}=0.\end{align*}
3. Comme la dérivée de $g$ sur $(0,+\infty)$ est nulle, alors $g$ est la fonction constante sur $(0,+\infty)$. Mais $g(1)=0$, ce qui implique que $g(x)=0$ pour tout $x\in (0,+\infty)$.

Problème: On désire calculer l’expression de la fonction $\Phi:$ \begin{align*} \Phi(x)=\int^x_{\frac{1}{x}} \frac{dt}{(t+1)^2(t^2+1)}.\end{align*}

1. Montrer que l’ensemble de définition de $\Phi$ est $D_\Phi=]0,+\infty[$ (Indication poser $f(t)=\frac{1}{(t+1)^2(t^2+1)}$ et remarquer que $f$ n’est pas définie pour $t=-1$. Donc il faut discuter dans quel cas $-1$ n’est pas compris entre $x$ et $\frac{1}{x}$).
2.  Soit $F$ la primitive de $f$. Vérifier que \begin{align*} \Phi(x)=F(x)-F(\frac{1}{x}),\quad \forall x\in ]0,+\infty[.\end{align*} En déduire que $\Phi$ est dérivable sur son domaine et calculer $\Phi'(x)$ pour tout $x>0$.
3. Calculer l’expression de $\Phi(x)$ pour $x\in ]0,+\infty[$ (Indication: remarquer que $\Phi(1)=0$).
4. Application: Soit $\alpha\in ]0,\frac{\pi}{2}[$. On pose \begin{align*} I(\alpha)=\int^{\frac{\pi}{2}-\alpha}_\alpha \frac{\cos^2(\theta)}{1+\sin(2\theta)}d\theta.\end{align*} En faisant le changement de variable $t=\tan(\theta),$ montrer que \begin{align*} I(\alpha)=-\Phi(\tan(\alpha)).\end{align*} En déduire l’expression de $I(\alpha)$.

Solution: Très bientôt.

Remarque: Vous pouvez aussi consulter les fonctions définies par une intégrale.