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Espace de Lebesgue

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L’espace de Lebesgue des fonctions p intégrables est impliqué dans de nombreux modèles physiques et biologiques, tels que l’équation de la chaleur et la dynamique des populations. Ce dernier utilise l’espace des fonctions intégrables (espace $L^1$) comme espace des solutions. Nous donnons un rappel et aussi des exercices corrigés sur l’espace de Lebesgue $L^p(\mu)$ avec $p\in [1,+\infty[$ et $\mu$ une mesure positive sur un ensemble mesurable. La connaissance de la théorie de la mesure est souhaitable pour bien comprendre les propriétés de ce type d’espace vectoriel norméRech

L’espace de Lebesgue est un espace de Banach, Théorème deRiesz–Fischer

On commence par rappeler la constriction de l’intégrale de Lebesgue pour les fonctions mesurables.

Tribu Boréliennes

Dans cette partie, $S$ est un ensemble et $\mathcal{A}$ est une tribu sur $S$. On rappel que $\mathscr{P}(S):=\{A\;|\;A\subset S\}$ est une tribu sur $S$. Si de plus $S$ est un espace métrique et $\mathscr{O}(S)=\{O\subset S\;|\; O\;\text{ouvert}\}$, alors la petit tribu contenant $\mathscr{O}(S)$ est donnée par \begin{align*} \mathscr{B}(S)=\{A\;|\: A\in\mathcal{A},\; \forall \mathcal{A}\; \text{tribu}\; \mathcal{A}\supseteq \mathscr{O}(S)\}.\end{align*}La tribu $\mathscr{B}(S)$ est appelée la tribu boréliennes engendrée par $\mathscr{O}(S)$ (une tribu dans engendrée par des ouverts).

Un cas spécial, c’est la tribu $\mathscr{B}(\mathbb{R}^n),$ la tribu engendre par les ouverts de $\mathbb{R}^n$. Notez que si $B\in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$, alors la nouvelle tribu $\mathscr{B}(B)=\{A\in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)\;|\;A\subset B\}$. On a aussi $\mathscr{B}(B)=\{A’\cap B\;|\; A’\in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)\}$.

Définition de l’intégral de Lebesgue

Soit $(S,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré. Une fonction simple et positive $f$ peut être écrit comme $f=\sum_{j=1}^k y_j 1_{A_j}$ avec $y_j\ge 0$ et $A_j\in\mathcal{A}$ sont deux à deux disjoints pour tout $j$. Son intégrale est donnée par \begin{align*}\int_S fd\mu=\sum_{j=1}^{k} y_j\mu(A_j).\end{align*}Maintenanant soit $f:S\to [0,\infty]:=\mathbb{R}^+\cup\{+\infty\}$ une fonction mesurable. On peut approximer $f$ d’une manière monotone par des fonctions simples $f_n:S\to [0,+\infty[$. On peut donc définir l’intégrale de $f$ par \begin{align*} \int_S fd\mu=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_S f_nd\mu\in [0,+\infty].\end{align*} La fonction f est dite intégrable si son intégrale est finie.

Notez que L’application $f\mapsto \int_S fd\mu$ est monotone, additive et homogène positive. L’intégrale est nulle si et seulement si $\mu(f\neq 0)=0$.

On note par $f^+=\max(f,0)$ et $f^-=-\min(f,0)$, donc $f^+$ et $f^-$ sont postives. On a alors $f=f^+-f^-$ et $|f|=f^++f^-$.

Dans la suite, pour simplifier ce rappel de cours, nous nous contenterons de considérer les fonctions à valeurs réelles $f$. Une fonction mesurable $f:S\to\mathbb{R}$ est intégrable si ces parités positives $f^+$ et négatives $f^-$ sont intégrables. Donc, outre la mesurabilité de f un n’a qu’à vérifier que le nombre $\int_S |f|d\mu<\infty$. Dans ce cas, l’intégrale de $f$ est \begin{align*} \int_S fd\mu=\int_S f(s)d\mu(s):=\int_S f^+d\mu-\int_S f^-d\mu.\end{align*} On a aussi \begin{align*}\left| \int_S fd\mu\right|\le \int_S |f|d\mu.\end{align*} On écrit $dx$ au lieu de $d\lambda$ ou $d\lambda(x)$ (dans ce cas l’intégrale coïncide avec l’intégrale de Riemann des fonctions continues sur des intervalles de $\mathbb{R}$.)

Pour $f:=(f_1,\cdots,f_k):S\to\mathbb{R}^k$ avec $f_i$ mesurable pour tout $i,$ la fonction $s\mapsto \|f(s)\|_2$ intégrable si et seulement si chaque $f_i$ est intégrable. Dans ce cas, \begin{align*} \int_S fd\mu=\left(\int_S f_1d\mu,\cdots,\int_S f_kd\mu \right).\end{align*}

L’espace de Lebesgue $L^p(\mu)$

Soit $p\in [1,+\infty[$ et soit $f:S\to\mathbb{R}$ une fonction mesurable. On considère la quantité \begin{align*} \|f\|_p:=\left(\int_S |f|^pd\mu\right)^{\frac{1}{p}}\in [0,+\infty].\end{align*}On définit alors l’ensemble\begin{align*}\mathscr{L}^p(\mu)=\mathscr{L}^p(S)=\mathscr{L}^p(S,\mathcal{A},\mu):=\{f:S\to\mathbb{R}\;\text{mesurable}\; \|f\|_p<\infty\}.\end{align*} Il est claire que pour tout $\alpha\in \mathbb{C}$ on a $\|\alpha f\|_p=|\alpha| \|f\|_p$. De plus on a $\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p$ pour tout $f,g\in\mathscr{L}^p(\mu),$ selon l’inégalité de Minkowski. Mais $\|f\|_p=0$ implique que $f(s)=0$ pour tout $s\in S\setminus N$ avec $\mu(N)=0$ (nulle presque partout). Cela montre que $f$ n’est pas identiquement nulle, et donc $\|\cdot\|_p$ n’est pas une norme, elle est juste une semi-norme. Pour contourner ce problème, nous introduisons l’ensemble des fonctions nulles presque partout \begin{align*}\mathscr{N}:=\{ f:S\to\mathbb{R}: f=0\;\mu-\text{p.p}\}.\end{align*} On a alors $\mathscr{N}\subset \mathscr{L}^p(\mu)$ pour tout $p\in [1,+\infty[$. On définit alors l’espace \begin{align*}L^p(\mu)=L^p(S)=L^p(S,\mathcal{A},\mu):= \mathscr{L}^p(\mu)/\mathscr{N}=\{\hat{f}=f+\mathscr{N}\;|\; f\in\mathscr{L}^p(\mu)\}.\end{align*} Bien sûr, nous devons supposer que $\mu(S)>0$ pour éviter le cas $L^p(\mu)=\{0\}$. On pose alors \begin{align*} \|f+\mathscr{N}\|_p:=\|f\|_p\end{align*} pour tout $\hat{f}\in L^p(\mu)$. D’autre part, pour $\hat{f}\in L^1(\mu)$ on écrit \begin{align*} \int_S \hat{f}d\mu:=\int_S fd\mu.\end{align*} Ces définitions ne dépendent pas du choix du représentant. Donc $\hat{f}$ est identique à $f$.

Théorème (Riesz–Fischer): Pour $p\in [1,+\infty[$, $(L^p,\|\cdot\|_p)$ est un espace de Banach (espace vectoriel normé complet).

Preuve: Soit $(f_n)_n$ une suite de cauchy dans $L^p(\mu)$. On peut donc construite une suite strictement croissante $(n_j)_j$ des entiers naturel tel que $\|f_l-f_{n_j}\|_p\le 2^{-j}$ pour tout $l\ge n_j$. La fonction $g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}$ satisfait donc l’inégalité $\|g_j\|_p\le 2^{-j}$ pour tout $j\in\mathbb{N}$. Ainsi la série (télescopique) de termes $g_j(s)$ converge absolument. En effet, on pose \begin{align*}s_k:=\left(\int_S \left(\sum_{j=1}^k |g_j(x)|\right)^p d\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}=\left\|\sum_{j=1}^k |g_j|\right\|_p\le \sum_{j=1}^k 2^{-j}\le 1.\end{align*} La function \begin{align*}g:S\to [0,+\infty],\quad g(x)=\sum_{j=1}^{+\infty} |g_j(x)|\end{align*} est mesurable. De plus, selon le lemme de Fatou, on a \begin{align*} \int_S g(x)^pd\mu(x)=\int_S \lim_{k\to\infty}\left(\sum_{j=1}^k |g_j(x)|\right)^p d\mu(x)\le \liminf_{k\to\infty}s_k^p\le 1.\end{align*} Cela implique qu’il existe $N\in\mathcal{A},$ $\mu(N)=0$ et \begin{align*}g(x)=\sum_{j=1}^{+\infty} |g_j(x)|<\infty,\quad\forall x\in S\setminus N.\end{align*} Cela montre la convergence absolue de la série $\sum_{j\ge 1}g_n(x)$ pour tout $x\in S\setminus N$. Il en résulte la convergence des ($k\to\infty$) \begin{align*}f_{n_k}(x)=f_{n_1}(s)+\sum_{j=1}^{+\infty} g_j(x)\to f_{n_k}(x)+\sum_{j=1}^{+\infty} g_j(x):=f(x).\end{align*} Nous avons également mis en place $f(x)=0$ pour tout $x\in N$. Il est bien claire que la fonction $f$ est mesurable. On a aussi \begin{align*} |f_{n_k}|\le |f_{n_1}|+\sum_{j=1}^{k-1} |g_j|\le |f_{n_1}|+g:=h\in L^p(\mu).\end{align*} Le théorème de convergence dominée implique $f\in L^p(\mu)$ et $\|f_{n_k}-f\|_p\to 0$ quand $k\to \infty$. Pour tout $\varepsilon>0$ il exist $j\in\mathbb{N}$ tel que $2^{-j}\le \varepsilon$ et $\|f-f_{n_j}\|_p\le \varepsilon$. Maintenant pour tour $l\ge n_j$, on a \begin{align*} \|f-f_l\|_p\le \|f-f_{n_j}\|_p+\|f_{n_j}-f_l\|_p\le 2\varepsilon.\end{align*} Donc on a monter que la suite de Cauchy converge dans $L^p(\mu),$ c’est donc un Banach.

Exercices corrigés sur le calcul différentiel

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Nous proposons des exercices corrigés sur le calcul différentiel dans les espaces de Banach. En effet, le calcul différentiel est très utile pour les équations aux dérivées partielles (EDP) et l’optimisation. Le calcul différentiel en dimension infini est déjà vue dans le cours la deuxième année de l’Université et la classe de mathématiques spéciale (Math Spé)

Une sélection d’exercices corrigés sur le calcul différentiel

Exercice: Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un espace vectoriel normé de dimension quelconque. On note par $E^\ast=E\setminus\{0\}$ et Soit $f:E^\ast\to F$ une application continue positivement continue de degré $p>0$, c’est à dire\begin{align*}\tag{$\ast$}\forall x\in E^\ast,\quad \forall t>0,\qquad f(tx)=t^pf(x).\end{align*}

  1. Montrer qu’il existe un réel $A$ tel que\begin{align*}\|f(x)\|\le A \|x\|^p,\qquad \forall x\in E^\ast,\end{align*}et montrer que l’on n’a pas $f(x)=o(\|x\|^p)$ au voisinage de l’origine que si $f$ est la fonction nulle. Dans toute la suite on suppose que $f$ est prolongée à l’origine par $f(0)=0$.
  2. Montrer que si $f$ est de classe $C^k$ ($k < p$) sur $E^\ast,$ alors $f$ est de classe $C^k$ sur $E$.
  3. Montrer qu’il n’existe aucun entier $k\ge p$ tel que $f^{(k)}(0)$ existe, sauf si $k=p$ et si $f$ est un polynôme de degré $p$.
  4. Application. Déterminer l’ordre maximum de différentiabilité à l’origine des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}^2$ par:\begin{align*}f(x,y)&=\frac{x^3y^3}{x^2+y^2}\quad\text{si}\quad (x,y)\neq (0,0),\quad\text{et}\quad f(0,0)=0.\cr g(x,y)&= (y^4-x^4)e^{-\frac{y^2}{x^2}}\quad\text{si}\quad x\neq 0,\quad\text{et}\quad g(0,y)=0.\end{align*}

Solution: 1) Soit la sphère unité de $E:$ \begin{align*}S:=\{x\in E: \|x\|=1\}.\end{align*}Comme $E$ est de dimension fini alors $S$ est compact (en dimension finie les compacts sont les fermés bornés). D’autre part, comme $f$ est continue sur $S,$ alors elle est bornée sur $S$, c’est-à-dire il existe $A>0$ tel que $\|f(x)\|\le A$ pour tout $xin S$. Maintenant, on remarquons que pour $x\in E^\ast$ on a $\frac{x}{\|x\|}\in S$ et on applique l’égalité ($\ast$) pour $t=\frac{1}{\|x\|}$, on trouve\begin{align*}A\ge \left\|f\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right\|=\left(\frac{1}{\|x\|}\right)^p \|f(x)\|\end{align*}D’où le résultat. Comme $p>0$ en déduit donc que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Ainsi $f$ est prolongeable par continuité en $0,$ en posons $f(0)=0$, et donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Supposons que $f(x)=o(\|x\|)$ au voisinage de $0$. Cela signifie que\begin{align*}\lim_{\|x\|\to 0} \frac{f(x)}{\|x\|^p}=0.\end{align*} Donc pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x\in E$ avec $\|x\|\le \alpha$ on a $\|f(x)\|\le \varepsilon \|x\|^p$. Pour tout $x\in E^\ast,$ on applique ($\ast$), on trouve\begin{align*}\|f(x)\|&=\left\| f\left( \frac{\|x\|}{\alpha} \frac{\alpha x}{\|x\|}\right)\right\|= \left(\frac{\|x\|}{\alpha}\right)^p
\left\| f\left(\frac{\alpha x}{\|x\|}\right)\right\|\cr & \le \left(\frac{\|x\|}{\alpha}\right)^p \varepsilon \left\|\frac{\alpha x}{\|x\|}\right\|^p\cr &\le \varepsilon \|x\|^p.\end{align*}Cette inégalité est vraie pour tout $\varepsilon >0,$ donc $f(x)=0$ pour tout $x\in E$.

2) Soient $k < p$ et $r\in\{1,2,\cdots,k\}$ on a $f^{(r)}$ existe sur $E^\ast$ et que $f^{(r)}$ est continue sur $E^\ast$. D’autre part, comme $f$ satisfait ($\ast$) en prend la r-ième différentielle des deux cotés de ($\ast$) on trouve\begin{align*}t^r f^{(r)}(tx)=t^p f^{(r)}(x),\qquad \forall x\in E^\ast.\end{align*}En particulier, \begin{align*}f^{(r)}(tx)=t^{p-r} f^{(r)}(x),\qquad \forall x\in E^\ast.\end{align*}Ce qui implique que $f^{(r)}$ est positivement continue de degré $p-r>0$. D’après la question (1) on déduit que $f^{(r)}(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. On a donc montrer que pour tout $r\in\{1,2,\cdots,k\}$ la fonction $f$ admet une différentielle d’ordre $r,$ continue en $0$ et s’annulant en $0$. Donc $f$ admet sur $E$ est différentielle d’ordre $k,$ continue en tout point. Ainsi $f$ est de classe $C^k$ sur $E$ et on a $f^{(r)}(0)=0$ pour tout $r\in \{0,1,\cdots,k\}.$

3- Supposons qu’il existe un entier $k\ge p$ tel que $f^{(r)}(0)$ existe, et donc tout entier entre $k$ et $p$ satisfait la même propriété. On peut supposer que $k-1 < p\le k$ (penser à remplacer $k$ par le plus petit entier supérieur à $p$!). Pour tout $r\in \{1,\cdots,k-1\},$ $f$ admet une différentielle d’ordre $r$ définie sur un voisinage de $0$ et continue en $0$ et cette différentielle est positivement homogène de degré $p-r > 0$ (voir la question (2)), on a pour tout $x$ assez voisin de $0:$\begin{align*}f^{(r)}(0)=\lim_{t\to 0}f^{(r)}(tx)= \lim_{t\to 0} t^{p-r} f^{(r)}(x)=0.\end{align*}Ainsi $f(0)=0,$ $f'(0)=0,\cdots,f^{(k-1)}=0$, et puisque $f^{(0)}$ existe, il existe une fonction polynôme $P,$ homogène de degré $k$ sur $E,$ telle que\begin{align*}\tag{$\ast\ast$}f(x)=P(x)+o(|x|^k).\end{align*}On distingue deux cas, si $k>p$ alors la relation ($\ast\ast$) implique qu’au voisinage de l’origine on a\begin{align*}f(x)=O(|x|^k)=o(|x|^p).\end{align*}Donc d’après la question (1) la fonction $f$ est nulle. Si $k=p,$ on a $h(x):=f(x)-P(x)=o(|x|^p),$ et comme la fonction $h$ est continue et positivement homogène de degré $p,$ alors d’après (1) on a $h$ est nulle, et donc $f$ est une fonction polynôme.

4- Pour tout $t>0$ et $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ avec $(x,y)\neq 0,$ on a\begin{align*}f(tx,ty)= t^4 f(x,y).\end{align*}Donc $f$ est positivement homogène de degré $4$, et elle est donc de classe $C^3$. d’autre par comme $x^3y^3$ n’est pas divisible par $x^2+y^2,$ alors $f$ n’est pas une fonction polynôme. Par suite $f^{(4)}(0)$ n’existe pas. Il est bien claire que la fonction $g$ est positivement homogène de degré $4$. d’autre part, il est claire aussi que la fonction $g$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^\ast\times \mathbb{R}$. Il est très connu (exercice classique) que la fonction réelle définie par\begin{align*}\psi(s)=e^{-\frac{1}{s^2}}\quad\text{si}\quad s\neq 0,\quad\text{et}\quad \psi(0)=0,\end{align*}est une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. On déduit alors que $g$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$. Par suite $g$ est de classe $C^3$ sur $\mathbb{R}^2$. D’autre part, puisque $g$ n’est pas une fonction polynôme, alors $g$ n’admet pas de différentielle d’ordre $4$ à l’origine.

Dans la suite on donne plus d’exercices corrigés sur le calcul différentiel un peu théoriques.

Exercice: Soit $F$ un fermé non trivial de $\mathbb{R}^n,$ de complémentaire $\Omega$. Le produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$,\begin{align*}\langle x,y \rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i,\quad x,y\in \mathbb{R}^n.\end{align*}La norme sur $\mathbb{R}^n$ est $\|x\|=\sqrt{\langle x,x \rangle}$. L’objectif est d’étudier la différentabilté de l’application\begin{align*}\varphi:\Omega\to \mathbb{R},\quad x\mapsto \varphi(x)=d(x,F)^2=\inf_{y\in F}\|x-y\|^2.\end{align*}Pour $x\in\Omega,$ on note\begin{align*}A(x)=\{f\in F: \|x-f\|=d(x,F)\},\end{align*}Cet ensemble est non vide par compacité locale.

  1. Supposons que $\varphi$ est différentiable en $x\in\Omega$. Soit $f\in A(x)$. Montrer que\begin{align*}\nabla \varphi(x)=2(x-f).\end{align*}Qu’en déduit-on si $A(x)$ n’est pas un singleton?
  2. On suppose que $x\in \Omega$ et que $A(x)=\{f\}$. Montrer que\begin{align*}\lim_{h\to 0}d(A(x+h),f)=0.\end{align*}En déduit que $\varphi$ est différentiable en $x$.

Solution: 1- Soit $h\in\mathbb{R}^n$ un vecteur fix. On a $x+th\in \Omega$ pout $|t|$ assez petit. De plus on a,\begin{align*}\varphi(x+th)\le \|x+th-f\|^2=\varphi(x)+2t\langle h,x-f\rangle+t^2 \|h\|^2.\end{align*}

Exercices sur les relations d’ordre

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On propose des exercices sur les relations d’ordre. Les relations d’ordre, fondamentales en mathématiques, offrent une manière élégante de comparer et de classer les éléments d’un ensemble. Leur importance s’étend au-delà des concepts théoriques, trouvant des applications dans divers domaines.

Cet article, vous invite à plonger dans des défis pratiques qui vous aideront à maîtriser les subtilités de ce concept. À travers une série d’exercices soigneusement sélectionnés, nous explorerons les différents types de relations d’ordre, les propriétés clés et les applications concrètes, vous permettant ainsi de développer une compréhension profonde et une expertise pratique dans ce domaine fondamental des mathématiques.

Sélection d’exercices sur les relations d’ordre

Relation d’ordre qui n’est pas totale

Exercice 1: On définit une relation $\mathscr{R}$ sur $\mathbb{R}$ par : $x,y\in \mathbb{R}$, $p\mathscr{R} q$ si et seulement si $x-y\in\mathbb{N}$. $\mathscr{R}$ est-elle une relation d’ordre ? Est-ce totale ?

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, nous avons $x-x=0\in\mathbb{N}$. Ainsi $x\mathscr{R}x$. Supposons maintenant, $x,y\in\mathbb{R}$ et que $x\mathscr{R} y$ et $y\mathscr{R} x$. Il existe donc $n,m\in\mathbb{N}$ tel que $x-y=n$ et $y-x=0$. La somme de ces deux égalités nous donne $n+m=0$. Puisque $n$ et $m$ sont deux entiers positifs et que leur somme est nulle, alors $n=m=0$. Par conséquent, $x=y$.

Soit $x,y,z\in\mathbb{R}$ tel que $x\mathscr{R} y$ et $y\mathscr{R} z$. Ensuite, nous pouvons écrire $x-y=n$ et $y-z=m$ pour certains $n,m\in\mathbb{N}$. En résumé, nous trouvons $x-z=n+m\in\mathbb{N}$. D’où $x\mathscr{R} z$. Par conséquent $\mathscr{R}$ est une relation d’ordre.

La relation d’ordre $\mathscr{R}$ n’est pas totale, car il existe des nombres réels qui ne sont pas comparables par une telle relation. Considérez simplement les deux nombres $1$ et $\frac{1}{2}$, nous avons $1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\notin\mathbb{N}$.

Relation d’ordre sur l’ensemble des applications

Exercice 2: Soit $E:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ l’ensemble des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On considère la relation $\preceq$ définie sur $E$ par: pour tout $f,g\in E$,\begin{align*}f\preceq g \;\Longleftrightarrow \;\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)\le g(x).\end{align*}

1- Montrer que $\preceq$ est une relation d’ordre sur $E$. Cet ordre est-il partiel? total?

2- Interpréter $\prec$ pour un couple quelconque $(f,g)\in E^2$

3- Donner des exemples d’applications $f$ et $g$ de $E$ satisfaisant $f \prec g$.

4- Soit $(f,g)\in E^2$. A-t-on l’équivalent\begin{align*}f \prec g \;\Longleftrightarrow \; (f(x) < g(x),\;\forall x\in\mathbb{R})?\end{align*}

1- Soit $f\in E$. Pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(x)\le f(x)$. Donc $f\preceq f,$ c’est-à-dire $\preceq$ est reflexive. Soient maintenant $f,g\in E$ tels que $f\preceq g$ et $g\preceq f$. Donc on a à la fois $f(x)\le g(x)$ et $g(x)\le f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. Donc $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. C e qui donne $f=g,$ c’est-à-dire $\preceq$ est antisymétrique. Finalement, soient $f,g$ et $h$ des éléments de $E$ tels que $f\preceq g$ et $g\preceq h$. Alors pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(x)\le g(x)$ et $g(x)\le h(x),$ ce qui implique que $f(x)\le h(x)$. Ainsi $f\preceq h$, ce qui signifie que $\preceq$ est transitive. Donc elle définit bien une relation d’ordre. D’autre part, l’ordre $\preceq$ est évidemment un ordre partiel. En effet, soient $f$ et $g$ deux applications dans $E$ tels que\begin{align*}f(0)=1,\;g(0)=-1,\;f(1)=-1,\;text{et}\;g(1)=0.\end{align*}Alors, on voit que ni $f\preceq g$ ni $g\preceq f$.

2- Pour $(f,g)\in E^2$ on a $f\prec g$ si et seulement si ($f\preceq g$ et $f\neq g$) si et seulement si $f(x)\le g(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ et il existe $x_0\in\mathbb{R}$ avec $f(x_0)\neq g(x_0)$ (i.e. $f(x_0) < g(x_0)$).

3- Soient $f$ et $g$ définies $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}^\ast_-$, et $f(x)=|x|,\;g(x)=e^x$ pour tout $x\in\mathbb{R}_+$. On a évidement $f\prec g$.

4- L’implication ($\Longleftarrow$) est toujours vraie. Pour l’autre implication, dans l’exemple fourni dans la question précédente, on voit que $f\prec g$ au moment où pour tout $x$ négatif $f(x)=g(x)$. Ainsi les deux assestions ne sont pas équivalentes.

Éléments minimale et maximale

Exercice 3: On définit une relation $\preccurlyeq$ sur $\mathbb{N}^\ast$ par : $p,q\in \mathbb{N}^\ast$, $p\preccurlyeq q$ s’il y a $n\in \mathbb{N}^\ast$ tel que $q=p^n$.

1- Vérifier que $\preccurlyeq$ définit une relation d’ordre partiel sur $\mathbb{N}^\ast$.

2- Soit $E=\{3,9,27\}$. Déterminez le plus grand et le plus petit élément de $E$.

This is the solution text.

1- Pour $p\in\mathbb{N}^\ast$, on a $p=p^1$, donc $p \preccurlyeq p$. Ce qui montre que $\preccurlyeq$ est reflexive.

Soit $p,q\in \mathbb{N}^\ast$ tels que $p \preccurlyeq p$ et $q \preccurlyeq p$. Donc il existent $n,m\in \mathbb{N}^\ast$ tel que $q=p^n\ge p$ et $p=q^m\ge q$. Ainsi $p=q$. Ce qui preuve que $\preccurlyeq$ est antisymétrie.

Soit $p,q,r\in \mathbb{N}^\ast$ tels que $p \preccurlyeq p$ et $q \preccurlyeq r$. Donc on peut trouver $n,m\in \mathbb{N}^\ast$ tels que $q=p^n$ et $r=q^m$. Ce qui donne $r=(p^n)^m=p^{nm}$. On a alors $p \preccurlyeq r$. Donc la relation $\preccurlyeq$ est transitive, alors c’est une relation d’ordre partiel sur $\mathbb{N}^\ast$.

2- On a $9=3^2$ et $81=3^4$, donc $3 \preccurlyeq 9$ et $3 \preccurlyeq 81$. Ainsi 3 est le plus petit élément de $E$.

De plus, $81=3^4$ et $81=9^2,$ donc $3 \preccurlyeq 81$ et $9 \preccurlyeq 81$. Ainsi $81$ est le grand élément de $E$.

Exercice 4: Un élément $M$ (resp. $m$) d’un ensemble ordonné $(E,\preceq)$ est dit maximal (resp. minimal) si et seulement si pour tout $x\in E,$ \begin{align*}M \preceq x\;\Longrightarrow\; x=M\quad (\text{resp.} x \preceq m\;\Longrightarrow\; x=m).\end{align*}Soit $(E,\preceq)$ un ensemble partiellement ordonné.

1- Montrer que si $E$ admet un plus petit élément, alors $E$ admet un élément minimal.

2- Cet élément minimal est-il unique?

This is the solution text.

1- Supposons que le minimum de $E$ existe, et notons $M$ cet élément. Soit $A$ un élément de $E$ tel que $A \preceq M$. Comme $M$ est le minimum de $E$ pour la relation $\preceq$, il vient que $M\preceq A$. Due to l’antisymétrie de $\preceq$, en déduit que $A=M$. Ce qui implique que $M$ est un élément minimal de $E$.

2- S’il y a un autre élément minimal $M’$, dans E, alors\begin{align*}M={\rm Min}(E)\preceq M’\;\Longrightarrow\;M’=M.\end{align*}Donc E admet un unique élément minimal qui est le minimum de $E$.

Remarque: Ce résultat reste vraie si on remplace le minimum (resp. minimal) par maximum (resp. maximal).

Groupe symétrique

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Plongeons-nous dans le mystérieux domaine des permutations et découvrons ensemble le magnifique groupe symétrique. Attachez vos ceintures, car nous allons explorer des définitions, des propriétés et des concepts captivants qui vous ouvriront les portes vers un nouvel univers mathématique.

Les bases du groupe symétrique

Définition du groupe symétrique

Commençons par le commencement. Les permutations sont comme les changements de places que vous faites avec les cartes lors d’une partie de poker, ou les variations d’ordre lorsque vous organisez votre playlist musicale.

En mathématiques, les permutations sont des bijections d’un ensemble $E$ sur lui-même. L’ensemble de toutes les permutations sur $E$ sera noté $S(E)$.

$(S(E),\circ)$ est un groupe appelé groupe symetrique (ou bien groupe de permutations) de l’ensemble $E$.

Dans la plus part des cas $E$ est un ensemble fini de la forme $E=\{1,2,\cdots,n\}$, et donc $S(E)$ sera noté tout simplement par $S_n$. Il est bien claire que $S_n$ est un groupe fini d’ordre $n!$. Dans ce qui suit les éléments de $S_n$ seront appelés permutations.

Le groupe symétrique $S_n$ est l’ensemble de toutes les permutations possibles d’un ensemble à $n$ éléments. Oui, vous avez bien compris, toutes les manières possibles de réarranger les éléments. Et devinez quoi ? $S_n$ forme un groupe ! Un groupe est simplement un ensemble muni d’une opération (dans ce cas, la composition des permutations) qui satisfait certaines règles.

Une permutation $\sigma\in S_n$ sera notée $$ \begin{pmatrix} 1&2&\cdots n\\ \sigma(1)&\sigma( 2)&\cdots \sigma(n)\end{pmatrix}.$$

Propriétés

Si deux ensembles finis $E$ et $F$ sont ont bijection, alors leurs groupes symétriques associés sont isomorphes, $S(E)\cong S(F)$.

En effet, si $f:E\to F$ est bijective, alors pour tout $\sigma\in S(E)$ on a $f\circ \sigma\circ f^{-1}:F\to F$ est une bijection, donc $f\circ \sigma\circ f^{-1}\in S(F)$. Ainsi on a construit une application $$ \psi: S(E)\to S(E),\quad \psi(\sigma)=f\circ \sigma\circ f^{-1},$$ est c’est isomorphisme fde groupe.

Le groupe symetrique $S_n$ n’est jamais commutatif dès que $n\ge 3$ (la plupart du temps!)

En effet, l’exemple suivant explique la situation: Soient $$ \tau=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3\end{pmatrix}.$$ Alors $\tau\circ\sigma\neq \sigma\circ \tau$.

Les transpositions

Une transposition est une opération simple mais puissante qui échange deux éléments d’un ensemble tout en laissant les autres en place.

Pensez-y comme à un mouvement élégant qui transforme subtilement l’ordre des éléments, tout en conservant l’équilibre du tout. Les transpositions jouent un rôle crucial dans la décomposition en cycles des permutations, nous permettant de dévoiler les mouvements sous-jacents qui animent les réarrangements.

Toute permutation est produit (non unique) de transpositions.

Dans le groupe symétrique, les transpositions forment les « briques » fondamentales à partir desquelles nous pouvons construire n’importe quelle permutation. Elles sont comme les pinceaux d’un artiste, permettant des transformations précises et expressives.

Les cycles

Un cycle est une séquence d’éléments qui se déplacent les uns vers les autres de manière cyclique. Pensez-y comme à une danse complexe où chaque élément échange sa place avec le suivant dans une harmonie parfaite. Les cycles forment un langage visuel puissant pour décrire les transformations sous-jacentes des permutations.

Définition: Un $k$-cycle $(x_1\cdots x_k)$ est une permutation $\sigma$ tel que $\sigma(x_1)=x_2,$ $\sigma(x_2)=x_3$,$\cdots$, $\sigma(x_k)=x_1,$ et $\sigma(y)=y$ pour tout $y\neq x_i$ pour tout $i$. Un $2$-cycle est appelé une transposition.

La décomposition en cycles est un peu comme résoudre un puzzle intrigant. En analysant une permutation, nous pouvons la briser en une série de cycles, chaque cycle représentant un groupe d’éléments qui interagissent entre eux. C’est comme si chaque cycle avait sa propre histoire à raconter dans le grand récit des réarrangements.

Toute permutation $\rho$ ne peut s’écrire que sous la forme d’un produit de cycles disjoints de longueur supérieure à 1.

Dans le groupe symétrique, les cycles apportent une dimension de structure et d’ordre. Ils nous aident à démêler les mouvements complexes des éléments et à apprécier l’élégance sous-jacente des permutations. Alors, préparez-vous à plonger dans le tourbillon des cycles et à explorer comment ces motifs cycliques nous guident vers de nouvelles perspectives et découvertes passionnantes dans le royaume des permutations.

Théoreme de Cayley et son relation avec le groupe symétrique

Préparez-vous à être émerveillés par l’une des perles les plus brillantes de la théorie des groupes : le Théorème de Cayley. Imaginez une toile magique tissée avec les fils subtils des permutations et des transformations, révélant un lien puissant entre un groupe et sa propre structure.

Le Théorème de Cayley affirme avec élégance que tout groupe fini peut être « plongé » de manière unique dans un groupe de permutations. Autrement dit, chaque groupe peut être vu comme un sous-groupe d’un groupe symétrique approprié. C’est comme si chaque groupe avait sa propre place de choix dans l’ensemble vaste et enchevêtré des permutations.

Theoreme de Cayley: Tout groupe G d’ordre $N$ est isomorphe à un sous-groupe de du groupe symétrique $S_N$.

Ce théorème, du nom du mathématicien britannique Arthur Cayley, est une véritable étincelle de génie qui éclaire la nature profonde des groupes. Il nous ouvre les portes vers une compréhension plus profonde de la structure et des propriétés des groupes, offrant un outil puissant pour explorer leur essence mathématique.

La Signature d’une Permutation : Un Concept Clé à Explorer

Ah, la signature d’une permutation, voilà une idée qui ajoute une touche intrigante à notre exploration des permutations et du groupe symétrique ! Imaginez que chaque permutation possède une sorte de « signature » qui nous révèle des détails subtils sur sa nature.

Définition: On appelle signature de $\sigma\in S_n$ le réel $$ \varepsilon(\sigma)=\prod_{1 < i < j\le n}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}.$$

La signature d’une permutation est un concept captivant qui nous permet de distinguer entre les permutations paires et impaires. Pensez-y comme à une étiquette de polarité pour chaque réarrangement d’éléments. Une permutation est dite paire si elle peut être décomposée en un nombre pair de transpositions (échanges d’éléments), sinon elle est impaire.

Si le nombre d’échanges est pair, la signature est égale à $1$, si le nombre d’échanges est impair, la signature est égale à $-1$.

Résumé de cours sur les anneaux

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Ce résumé de cours sur les anneaux vise à fournir aux étudiants une perspective claire et concise sur les concepts fondamentaux qui sous-tendent cette théorie, en mettant l’accent sur les notions essentielles et les propriétés clés.

Les anneaux sont des structures mathématiques cruciales qui trouvent leur application dans divers domaines, de l’algèbre à la géométrie en passant par la théorie des nombres. Nous introduisons également des méthodes pratiques pour résoudre les exercices sur les anneaux.

 Résumé de cours sur les anneaux

Un anneau est une structure algébrique qui combine les opérations d’addition et de multiplication.

Un anneau est un ensemble $A$ muni de deux lois de composition interne $+$ et $\times$ vérifiant les propriétes suivantes: $(A,+,\times)$ est un groupe abélien, la loi $\times$ est associative, $A$ admet un élément neutre pour la loi $\times$ et que cette loi est distributive sur $+$ à gauche et à droite.

Si de plus la loi $\times$ est commutative, on dit que $A$ est un anneau commutatif.

Exemples: Voici quelques anneaux classiques

  • L’ensemble $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ muni des loi $+$ et $\times$ est un anneau commutatif.
  • $(\mathbb{R},+,\times)$ est un anneau commutatif.
  • $(\mathbb{R}[X],+,\times)$ est un anneau de polynomes commutatif.

Anneau Produit

Soient $(A,+,\times)$ et $(B,+,\times)$ sont deux anneau. On définit deux lois de composition interne sur le produit cartésien $A\times B$ en posant, pour tout $x,x’\in A$ et $y,y’\in B,$ \begin{align*}&(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’),\cr & (x,y)\times(x’,y’)=(x\times x’,y\times y’).\end{align*}Alors $A\times B$ muni de ces lois est un anneau et il est commutatif si $A$ et $B$ le sont.

Sous-Anneaux et Idéaux

Un sous-anneau $S$ d’un anneau $A$ est un sous-ensemble de $A$ qui forme lui-même un anneau avec les mêmes opérations. Voici un caractérisation des sous-anneaux.

Proposition: Soit $(A,+,\times)$ un anneau et $S\subset A$. Alors $S$ de $A$ un sous-anneau de $A$ si et seulement si l’élément neutre de $A$ pour la loi $\times$ vérifie $1_A\in S$, et pour tout $x,y\in S$ on a $x-y\in S$ et $x\times y\in S$

Les idéaux sont des sous-ensembles spéciaux qui jouent un rôle fondamental dans la théorie des anneaux.

Un sous-ensemble $I$ d’un anneau $A$ est idéal de $A$ si

  • $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$.
  • Pour tout $a\in A$ et $r\in I$, on a $ar\in I$ et $ra\in I$.

Morphismes d’Anneaux

Les morphismes d’anneaux sont des applications qui préservent les opérations d’addition et de multiplication entre deux anneaux.

Soient $A$ et $B$ deux anneau. Une allplication $f:A\to B$ est dite un morphisme d’anneaux si pour tout $x,y\in A$ on a \begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y),\quad f(xy)=f(x)f(y).\end{align*}

Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme bijectif qui préserve les opérations et permet d’établir une correspondance bijective entre les éléments des deux anneaux.

Il faut connaitre la relation entre les anneaux et le corps. Il y aussi d’autres partie important le le cours sur les anneaux, comme caractéristique d’un anneau et le groupe des inversible dans un anneau.

Exercices sur l’analyse combinatoire

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On propose des exercices sur l’analyse combinatoire. En particulier, le calcul de cardinal des ensembles finis. On rappel que le cardinal d’un ensemble est le nombre des éléments de cet ensemble.

Formule de Binôme

On rappel que si $n\in\mathbb{N}$ alors on note $n!=1\times 2\times\cdots\times n$ et par convention $0!=1$. De plus on note\begin{align*}C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\end{align*}

Formule de Binôme: Si $(A,+,\times)$ est un anneau commutatif, et si $a,b\in A$ et $n\in \mathbb{N},$ alors \begin{align*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_n a^{n-k}b^k.\end{align*}

Exercice sur l’analyse combinatoire

Exercice: Soit $n\in\mathbb{N}^\ast$. Calculer la somme\begin{align*}S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\frac{C^{k+1}_n}{C^{k}_n}.\end{align*}

Solution: On a la formule suivante \begin{align*}\frac{C^{k+1}_n}{C^{k}_n}&=\frac{n!}{(k+1)!(n-k_1)!}\times \frac{k!(n-k)!}{n!}\cr &= \frac{n-k}{k+1}.\end{align*} On remplace dans l’expression $S$ on trouve \begin{align*}S&=\sum_{k=0}^{n-1} (n-k)=\sum_{k=1}^{n} k\cr &= \frac{n(n+1)}{2}.\end{align*}

Exercice: Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$. Montrer que ${\rm card}(\mathcal{P}(E))=2^n$.

Solution: Pour toute partie $A$ de $E,$ on note par $\chi_A:E\to \{0,1\}$ la fonction caractéristique de $A$ définie par\begin{align*}\chi_A(x)=\begin{cases} 1,& x\in A,\cr 0,& x\notin A.\end{cases}\end{align*}

Exercices corrigés sur les fonctions vectorielles 

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Nous proposons des exercices corrigés sur les fonctions vectorielles. Ce sont des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé. En effet, un exemple de telles fonctions sont les solutions des problèmes de Cauchy en dimension infinie.

Une sélection d’exercices corrigés sur les fonctions vectorielles 

Exercice (Inégalités de Kolmogorov): Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $f:\mathbb{R}\to E$ une fonction de classe $C^2$ bornée telle que $\ddot{f}$ est bornée. On note\begin{align*}M_0:=\sup\{\|f(x)\|:x\in\mathbb{R}\},\quad M_2:=\sup\{\|\ddot{f}(x)\|:x\in\mathbb{R}\}.\end{align*}

  1. En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que pour $x\in \mathbb{R}$ et $h>0,$ on a\begin{align*} \|f'(x)\|\le \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.\end{align*}
  2. En déduire que $f’$ est bornée, et que\begin{align*}M_1:=\sup\{\|f'(x)\|:x\in\mathbb{R}\}\le 2\sqrt{M_0 M_1}.\end{align*}

Solution:

  1. Vue que $f$ est une fonction de classe $C^2,$ alors la formule de Taylor avec reste intégral s’écrit: pour tous $x\in\mathbb{R}$ et $h>0,$\begin{align*}f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\int_x^{x+h} (x+h-t)\ddot{f}(t)dt.\end{align*}Alors la fonction dérivée $f’$ satisfait\begin{align*}\|f'(x)\|&=\frac{1}{h}\left\|(f(x+h)-f(x))- \int_x^{x+h} (x+h-t)\ddot{f}(t)dt\right\|\cr & \le \frac{1}{h}\left( \|f(x+h)\|+\|f(x)\|+\int_x^{x+h} (x+h-t)\|\ddot{f}(t)\|dt\right)\cr &\le \frac{1}{h} \left( 2M_0+M_2 \left[-\frac{(x+h-t)^2}{2}\right]^{x+h}_x\right)\cr & \le \frac{1}{h}\left( 2M_0+M_2 \frac{h^2}{2}\right)=\frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.\end{align*}
  2. Soit la fonction\begin{align*}\varphi(h)= \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2},\qquad \forall h>0.\end{align*}Cette fonction est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $\varphi'(t)=-\frac{2M_0}{h^2}+\frac{hM_2}{2}$. La fonction dérivée $\varphi’$ s’annule en $h_0=2\sqrt{\frac{M_0}{M_2}}$. On montre facilement que la fonction \varphi admet un minimum en $h_0$ qui vaut $\varphi(h_0)=2\sqrt{M_0M_2}$. Ainsi $M_1\le g(h_0)=2\sqrt{M_0M_2}$.

Exercice: Soit $I$ un ouvert de $\mathbb{R}$ tel que $0\in I$ et $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé. De plus, soit $f:I\mapsto E$ une application continue en $0$ telle que $f(0)=0$ et que la quantité \begin{align*} \frac{f(2x)-f(x)}{x}\end{align*} admette une limite $\ell$  quand $x$ tend vers $0$. Montrer que $f$ est dérivable en $0$. (Indication: utiliser la fonction $g(x)=f(x)-\ell x$).

Solution:  Il suffit donc de montrer que $g$ est dérivable en $0$. On a par définition de $g,$ elle est continue en $0,$ $g(0)=0,$ et pour tout $x\in I$ avec $x\neq 0,$ on \begin{align*}\frac{g(2x)-g(x)}{x}=\frac{f(2x)-f(x)}{x}-\ell\to 0\quad (x\to 0).\end{align*} Ainsi pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\delta>0,$ tel que $[-\delta,\delta]\subset I,$ et pour tout $x\in [-\delta,\delta]$ on a \begin{align*} \|g(2x)-g(x)\|\le \varepsilon \|x\|.\end{align*} Remarquons que pour tout $n\in\mathbb{N},$ pour tout $x\in [-\delta,\delta]$ on a $2^{-n}x\in [-\delta,\delta]$. Donc \begin{align*} \|g(2^{1-n}x)-g(2^{-n}x)\|\le \varepsilon 2^{-n} \|x\|.\end{align*} On utilisant une inégalité triangulaire, on l’estimation suivante \begin{align*}  \|g(x)-g(2^{-n}x)\|&=\left\| \sum_{k=1}^n(g(2^{1-k}x)-g(2^{-k}x))\right\|\cr & \le \varepsilon \left(\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k\right)\|x\|= \frac{\varepsilon}{2}\frac{1-2^{-n}}{1-\frac{1}{2}}\|x\|\cr & \le \varepsilon \|x\|.\end{align*} Puisque $g(2^{-n}x)\to 0,$ alors pour tout $x\in [-\delta,\delta]$ on a $\|g(x)\|\le \varepsilon$. Donc $g$ est dérivable en $0,$ et $g'(0)=0$. Par suite $f'(0)=\ell$.

Exponentielle d’une matrice et problème de Cauchy vectorielles

Exercice: Soient $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, $x_0\in \mathbb{R}^n$ et soit la fonction vectorielle $u:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^n$ définie par \begin{align*}u(t)=e^{tA}x_0;=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!}A^k,\qquad t\ge 0.\end{align*}

  1. Montrer que l’application vectorielle $u$ est bien définie.
  2. Montrer que $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et que $u$ est solution du problème de Cauchy linéaire \begin{align*} \dot{u}(t)=Au(t),\quad u(0)=x_0,\quad t>0.\end{align*}
  3.  Soit $\lambda\in\mathbb{C}$ tel que ${\rm Re}\lambda>\|A\|$. Montrer que $(\lambda I_n-A)^{-1}$ existe et que \begin{align*} (\lambda I_n-A)^{-1}x_0=\int^{+\infty}_0 e^{\lambda t}u(t)dt.\end{align*}

Exercices sur les espaces vectoriels normés

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Nous proposons des exercices sur les espaces vectoriels normés. En particulier, les espaces de Banach (espaces complets).

Une sélection d’exercices sur les espaces vectoriels normés

Exercice: Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R},\mathbb{C}$), et $f$ une application de $E$ dans $F$ vérifiant l’équation fonctionnelle suivante \begin{align*}\tag{EF}f(x+y)=f(x)+f(y),\quad \forall x,y\in E.\end{align*}On suppose qu’il existe un ouvert $U$ de $E$ sur lequel $f$ est bornée. Montrer que si $f$ est continue.

Solution: Exactement comme dans des réel ($E=\mathbb{R}$ et $F=\mathbb{R}$), on peut montrer par la même technique que, (EF) implique que si $r\in\mathbb{Q},$ alors $f(rx)=rf(x)$ pour tout $x\in E$. Pour montrer que $f$ est continue sur $E$ nous allons montrer que $f$ est lipschitzienne sur $E$. Soit $a\in U$ et soit $h>0$ tel que la boule ouverte $B(a,h)\subset U$ et soit $M$ un réel positif tel que \begin{align*}\|f(x)\|\le M,\quad forall x\in U.\end{align*} Remarquons que si $x\in B(0,h),$ alors $x+a\in B(a,h)$, et on a \begin{align*} \|f(x)\|&=\|f(x+a)-f(a)\|\cr &\le M+\|f(a)\|.\end{align*} Donc $f$ est bornée sur $B(0,h)$. Soit alors $\kappa>0$ tel que \begin{align*}\|f(x)\|\le \kappa,\quad \forall x\in B(0,h).\end{align*} Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R},$ pour tout $x\in E\backslash\{0\}$, il existe un nombre rationnel $r\in \mathbb{Q},$ tel que \begin{align*} \frac{h}{2}< r\|x\|<h.\end{align*} Ceci montre que $rx\in B(0,h)$, et on a \begin{align*} \|f(x)\|&=\left\|\frac{1}{r}f(rx)\right\|\cr & \le \frac{\kappa}{r}\le \frac{2\kappa}{h} \|x\|.\end{align*} Et comme $f(0)=0,$ alors on a \begin{align*}\|f(x)\|\le \frac{2\kappa}{h} \|x\|,\quad \forall x\in E.\end{align*} Maintenant, la relation (EF) et la dernière inégalité implique que \begin{align*}\|f(x)-f(y)\|=\|f(x-y)\|\le \frac{2\kappa}{h} \|x-y\|\end{align*} for tout $x,y\in E$. Ce qui montre que $f$ est lipschitzienne sur $E,$ donc continue sur $E$.

Voici un classique dans les exercices sur les espaces vectoriels normés

Exercice:

  1. Soient $E$ et $F$ deux espace vectoriels normés sur $\mathbb{R}$ et $f:E\to F$ une application continue vérifiant \begin{align*}\tag{1} f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(f(x)+f(y)\right),\quad \forall x,y\in E.\end{align*}Montrer que $f$ est affine (on pourra se ramener au cas où $f(0)=0$).
  2. Soit $H$ un espace préhilbertien sur le corps $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $(x,y)\in E\times E$. Montrer que le point \begin{align*}z=\frac{1}{2}(x+y)\end{align*}est le seule point de $H$ vérifiant \begin{align*} \|z-x\|=\|z-y\|=\frac{1}{2}\|x-y\|.\end{align*} (Indication: on pourra se ramener au cas où $x+y=0$).
  3. Soient $(H_1,\|\cdot\|_1)$ et $(H_2,\|\cdot\|_2)$ deux espaces préhilbertiens réels. Montrer, à l’aide des résultats précédents que toute application isométrique de $H_1$ dans $H_2$ est affine. Que peut-on dire des applications isométriques de $H_1$ dans $H_2$ lorsque $H_1$ et $H_2$ sont des espaces préhilbertiens complexes?

Solution: Soit l’application $g:E\to F$ définie par $g(x)=f(x)-f(0)$. On a alors $g$ est contnue sur $E$ et $g(0)=0$.  De plus pour tout $x,y\in E,$ on a \begin{align*} g\left(\frac{x+y}{2}\right)&=g\left(\frac{x+y}{2}\right)-f(0)\cr &= \frac{1}{2}\left(f(x)+f(y)\right)-f(0)\cr &= \frac{1}{2}\left(f(x)-f(0)+f(y)-f(0)\right)\cr & =\frac{1}{2}(g(x)+g(y)).\end{align*} ce qui montre que $g$ satisfait aussi (1). En particulier comme $g(0)=0$, alors en prenant $y=0,$ on trouve $g(x/2)=g(x)/2$. Par suite \begin{align*} g\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}g(x+y),\quad \forall x,y\in E.\end{align*} Ainsi \begin{align*}\frac{1}{2}g(x+y)=g\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(g(x)+g(y)).\end{align*} Donc $g(x+y)=g(x)+g(y)$. Comme $0=g(x-x)$, alors $g(-x)=-g(x)$. De plus pour tout $n\in\mathbb{N},$ et $x\in E$ on a $g(nx)=g(x+x+\cdots+x)=ng(x)$. Donc aussi pour tout $n\in\mathbb{Z},$ on a $g(nx)=ng(x)$. Pour $r=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q},$ on a $g(rx)=g(p\frac{1}{q}x)=pg(\frac{1}{q}x)$. De plus on a $g(x)=g(q\frac{1}{q}x)=qg(\frac{1}{q}x)$. Ainsi $g(rx)=rg(x)$ pour tout $r\in\mathbb{Q}$. Maintenant soit $\lambda\in\mathbb{R}$. Par densité, il existe $(r_n)_n\subset \mathbb{Q}$ tel que $r_n\to \lambda$ quand $n\to\infty$. donc pour tout $x\in E,$ on a $r_n x\to \lambda x$. Comme $g$ est continue alors $g(r_n x)\to g(\lambda x)$ quand $n\to\infty$. Mais $g(r_n x)=r_n g(x)\to \lambda g(x)$ quand $n\to\infty$. En déduit $g(\lambda x)=\lambda g(x)$, ce qui implique que $g$ est linéaire. Ainsi $f$ est afine (car $f(x)=g(x)+g(0)$).

2- Si on considère $w=x-\frac{x+y}{2}=\frac{x-y}{2}$, alors la question se réduit à montrer que l’origine est le seul point $u$ de $H$ satisfaisant \begin{align*}\tag{$\ast$} \|u-w\|=\|u+w\|=\|w\|.\end{align*}D’après l’identité du parallélogramme on a pour tout $u\in H,$ \begin{align*} \|u-w\|^2+\|u+w\|^2=2(\|w\|^2+\|u\|^2).\end{align*} Maintenanant la relation ($\ast$) implique qur $u=0$.

3- Soit $f:H_1\to H_2$ une isométrie, i.e. $\|f(x)-f(y)\|_2=\|x-y\|_1$ pour tout $x,y\in H_1$. Nous allons montrer que $f$ satisfait la relation (1). En effet, pour tout $x,y\in H_1,$ \begin{align*} \left\|f\left(\frac{x+y}{2}\right)-f(x)\right\|_2&=\left\| \frac{x+y}{2}-x\right\|_1\cr & =\frac{1}{2}\|x-y\|_1 = \frac{1}{2}\|f(x)-f(y)\|_2.\end{align*} De même \begin{align*} \left\|f\left(\frac{x+y}{2}\right)-f(y)\right\|_2=\frac{1}{2}\|f(x)-f(y)\|_2.\end{align*} par suite \begin{align*} \left\|f\left(\frac{x+y}{2}\right)-f(x)\right\|_2=\left\|f\left(\frac{x+y}{2}\right)-f(y)\right\|_2=\frac{1}{2}\|f(x)-f(y)\|_2.\end{align*} Maintenant, selon la question 2, on a \begin{align*}f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(f(x)+f(y)\right).\end{align*} Donc $f$ est affine selon la question 1 (on supposons $H_1$ et $H_2$ sont des $\mathbb{R}$-espaces).

Si on regarde $H_1$ et $H_2$ comme des $\mathbb{C}$-espaces, alors d’apres le calcul on haut on montre que toute isométrie de $H_1$ dans $H_2$ est $\mathbb{R}$-linéaire, mais pas nécessairement $\mathbb{C}$-linéaire (voici un contre exemple $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ telle que $f(z)=\overline{z}$).

Programme de mathématiques du bac

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Le programme de mathématiques du bac comprend l’analyse, l’algèbre et un peu de géométrie. Côté analyse, on retrouve les suites de nombres réels, les intégrales et l’étude des fonctions. D’autre part, pour l’algèbre, nous trouvons des structures algébriques comme les groupes et les espaces vectoriels. En fin, la partie géométrique comme interprétation de nombres complexes via la trigonométrie.

Propriétés des nombres réels et suites numériques

Ici on commence par l’étude des borne supérieure et inférieure des ensemble bornés de $\mathbb{R}$. En fait, ceci le programme de science mathématiques. D’autre part, le chapitre le plus important c’est celui des suites de nombres réels.

Etude de fonctions d’une variable réelle

Ici on trait trois parties. La première, c’est la notion de limites de fonctions, fini et infinies. La deuxième, c’est l’étude de la continuité des fonctions. La troisième, c’est la notion de dérivé de fonctions. La dernière partie est consacré a l’étude des variation de fonctions et comportement asymptotique.

Intégrale et primitive

C’est le calcul intégral et primitives des fonctions. L’objectif est d’apprendre les méthodes d’intégration par partie et par changement de variables.

Structures algébriques

Cette partie comprend deux chapitres, l’un sur les groupes et l’autre sur les espaces vectoriels. Notez que ce n’est qu’une introduction, car le programme sera détaillé dans les classes préparatoires ou la première année de l’université.

Nombres complexes et trigonométrie

Nous pouvons toujours représenter un point $ M $ avec les coordonnées $ (x, y) $ de manière unique et algébrique. En effet, c’est le rôle des nombres complexes, car à ce stade, nous pouvons l’associer au nombre complexe $ z = x + iy $. De plus, ce nombre complexe (donc le point $ M $) peut également représenter en utilisant des fonctions trigonométriques telles que les fonctions sinus et cosinus.

Trigonométrie : Angles, Fonctions

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La trigonométrie est l’étude des relations entre les angles et les côtés des triangles. Les fonctions trigonométriques, telles que le sinus, le cosinus et la tangente, jouent un rôle essentiel dans divers domaines scientifiques et mathématiques.

Les Principaux Concepts de la Trigonométrie

Les Angles et les Mesures Angulaires

trigonometrie-angle1

Les angles jouent un rôle fondamental en trigonométrie, servant de base pour comprendre les relations entre les fonctions trigonométriques et les propriétés des triangles. Dans ce contexte, la mesure des angles devient une compétence essentielle.

Les angles sont généralement mesurés en degrés, avec un tour complet correspondant à 360 degrés. Cependant, pour des calculs plus avancés, les radians sont souvent utilisés comme unité de mesure. Un radian est défini comme l’angle subtendu au centre d’un cercle lorsque l’arc de longueur égale au rayon est parcouru. Une particularité intéressante est que le cercle complet correspond à $2\pi$ radians. La transition entre les mesures en degrés et en radians est cruciale pour comprendre la manière dont les angles interagissent avec les fonctions trigonométriques et la géométrie, formant ainsi le socle sur lequel repose la compréhension approfondie de la trigonométrie.

Le Cercle Trigonométrique

trigonometrie-angle2

Le cercle trigonométrique est un outil graphique puissant utilisé en trigonométrie pour visualiser les relations entre les angles et les fonctions trigonométriques. Il consiste en un cercle unitaire centré à l’origine d’un système de coordonnées. En utilisant ce cercle, nous pouvons représenter graphiquement les valeurs des fonctions trigonométriques en fonction des angles.

Soit $\theta$ un angle en radians. Si nous traçons un rayon à partir de l’origine faisant un angle $\theta$ avec l’axe des abscisses, le point d’intersection de ce rayon avec le cercle aura des coordonnées $(\cos(\theta),\sin(\theta))$. Ces coordonnées sont directement liées aux fonctions trigonométriques du cosinus et du sinus de l’angle $\theta$. Ainsi, le cercle trigonométrique fournit une manière visuelle de comprendre comment les valeurs de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ varient en fonction de l’angle $\theta$.

De plus, le cercle trigonométrique permet de dériver des identités trigonométriques importantes. Par exemple, l’identité fondamentale $\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$ peut être déduite à partir de la distance entre le point $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ sur le cercle et l’origine.

En résumé, le cercle trigonométrique est un outil visuel qui établit une connexion entre les angles, les fonctions trigonométriques et la géométrie. Les formules $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ permettent d’associer chaque angle à un point sur le cercle, facilitant ainsi la compréhension des relations fondamentales de la trigonométrie.

Les Fonctions Trigonométriques de Base

Les fonctions trigonométriques de base, à savoir le sinus ($\sin$), le cosinus ($\cos$) et la tangente ($\tan$), forment le cœur de la trigonométrie. Ces fonctions sont étroitement liées aux mesures des angles et aux propriétés des triangles, et elles jouent un rôle crucial dans de nombreux domaines mathématiques et scientifiques.

Le sinus d’un angle dans un triangle est défini comme le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur de l’hypoténuse (le côté le plus long). Mathématiquement, pour un angle $\theta$ le sinus est donné par

$$ \sin(\theta)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypotènuse}}.$$

Le sinus varie entre -1 et 1, atteignant son maximum lorsque l’angle est de 90 degrés (ou $\frac{\pi}{2}$ radians).

Le cosinus d’un angle dans un triangle est défini comme le rapport entre la longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur de l’hypoténuse. Pour un angle $\theta$ le cosinus est donné par

$$ \cos(\theta)=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypotènuse}}.$$

Le cosinus varie également entre -1 et 1, atteignant son maximum lorsque l’angle est de 0 degré (ou $2\pi$ radians) et son minimum lorsque l’angle est de 180 degrés (ou $\pi$ radians).

La tangente d’un angle dans un triangle est définie comme le rapport entre le sinus de l’angle et le cosinus de l’angle. Mathématiquement, pour un angle $\theta$ qui n’est pas congru à $\frac{\pi}{2}$ modulo $\pi$, la tangente est donnée par

$$ \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.$$

$\theta$$0$$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$
$\cos(\theta)$$1$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$$0$
$\sin(\theta)$$0$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$1$
$\tan(\theta)$$0$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$1$$\sqrt{3}$non défini

Variations des fonctions trigonométriques

Les fonctions $x\mapsto \sin(x)$ et $x\mapsto \cos(x)$ sont definies, continues et dérivables sur tout $\mathbb{R}$. De plus, pour tout $x\in\mathbb{R}$,

$$ \sin'(x)=\cos(x)\quad\text{et}\quad \cos'(x)=-\sin(x).$$

La fonction $x\mapsto \tan(x)$ et definie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{\frac{(2k+1)\pi}{2}\}.$ De plus on a

$$ \tan'(x)=1+\tan^2(x).$$

trigonometries-courbes-sin-cos-tan

Ces fonctions trigonométriques de base sont utilisées pour modéliser des phénomènes périodiques, résoudre des triangles, analyser les mouvements circulaires et plus encore. Leur compréhension est essentielle pour naviguer efficacement dans les domaines de la géométrie, de la physique, de l’ingénierie et d’autres disciplines où les angles et les cycles jouent un rôle central.

Parité, symétrie et valeurs

Les fonctions sinus et cosinus sont des exemples de fonctions trigonométriques périodiques qui exhibent des propriétés de parité et de symétrie intéressantes. La fonction sinus est impaire, ce qui signifie que $\sin⁡(−x)=−\sin⁡(x)$, reflétant une symétrie centrale par rapport à l’origine. D’autre part, la fonction cosinus est paire, c’est-à-dire que $\cos⁡(−x)=\cos⁡(x)$, montrant une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées. Ces propriétés de parité et de symétrie sont essentielles pour simplifier les expressions trigonométriques et comprendre les variations des fonctions sur tout leur domaine.

$\beta$$-\theta$$\theta+\pi$$\theta-\pi$$\theta+2\pi$$\frac{\pi}{2}-\theta$$\frac{\pi}{2}+\theta$
$\cos(\beta)$$\cos(\theta)$$-\cos(\theta)$$-\cos(\theta)$$\cos(\theta)$$\sin(\theta)$$-\sin(\theta)$
$\sin(\beta)$$-\sin(\theta)$$-\sin(\theta)$$\sin(\theta)$$-\sin(\theta)$$\cos(\theta)$$\cos(\theta)$

Relations Trigonométriques et Identités

Les identités trigonométriques jouent un rôle central dans la simplification et la résolution d’équations trigonométriques complexes. Ces relations mathématiques permettent de transformer les expressions trigonométriques en d’autres formes équivalentes, facilitant ainsi les calculs et les manipulations. Voici quelques-unes des identités les plus fondamentales et utiles en trigonométrie :

Identités Trigonométriques Fondamentales

La relation la plus célèbre est $$\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1,$$ qui établit une relation entre les carrés du sinus et du cosinus d’un angle. Cette identité est basée sur le théorème de Pythagore appliqué à un triangle rectangle. D’autres identités fondamentales incluent $$ \tan^2(x)=1+\sec^2(x),\quad 1+\cot^2(x)=\csc^2(x)$$ avec $$ \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)},\; \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)},\; \cot(x)=\frac{1}{\tan(x)}.$$

Identités de Somme et de Différence

Ces identités relient les valeurs des fonctions trigonométriques pour la somme ou la différence de deux angles.

Des formules pour sinus

\begin{align*} & \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x),\cr & \sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x).\end{align*} En particulier si $x=y$, on a $$ \sin(2x)=2 \sin(x)\cos(x).$$

Des formules pour cosinus

\begin{align*} & \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y),\cr & \cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y).\end{align*} En particulier si $x=y$, on a $$ \cos(2x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x).$$

Des formules pour la fonction tangente

\begin{align*} & \tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)},\cr & \tan(x-y)=\frac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}.\end{align*} En particulier si $x=y$, on a $$ \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}.$$

Formules de factorisation :

Si on pose $$ a=\frac{x+y}{2},\quad b=\frac{x-y}{2},$$ alors on a $a+b=x$ et $a-b=y$. Donc si on applique les formules trigonométriques déjà vues plus haut, on retrouve les formules de factorisation suivantes

\begin{align*} & \cos(x)+\cos(y)=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right),\cr & \cos(x)-\cos(y)=-2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right).\end{align*}

\begin{align*} & \sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right),\cr & \sin(x)-\sin(y)=2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right).\end{align*}

La maîtrise de ces identités et de leurs applications permet de simplifier les expressions trigonométriques, de résoudre des équations trigonométriques complexes et d’analyser des modèles périodiques. Ces outils sont essentiels pour explorer des domaines allant de l’algèbre avancée à la physique et à l’ingénierie, où la trigonométrie joue un rôle clé dans la modélisation et la résolution de problèmes réels.

Relation avec les nombres complexes

Les fonctions trigonométriques, telles que le sinus et le cosinus, sont étroitement liées aux nombres complexes et jouent un rôle important dans la représentation et la manipulation de ces nombres. Les nombres complexes peuvent être exprimés sous forme trigonométrique, ce qui permet de les visualiser et de les opérer plus efficacement.

En utilisant la formule d’Euler, $$ e^{i\theta}=\cos(\theta)+\imath\sin(\theta),$$

où $\imath$ est l’unité imaginaire, les fonctions trigonométriques sont étendues aux nombres complexes. Cette formule relie les fonctions exponentielles et trigonométriques d’une manière profonde. Elle permet de représenter un nombre complexe $z$ sous la forme $z=re^{\imath \theta},$ où $r$ est le module de $z$, et $\theta$ est l’argument de $z$ (l’angle que le vecteur complexe forme avec l’axe des réels positifs).

De plus, les propriétés trigonométriques, comme les identités trigonométriques, sont également valides pour les nombres complexes. Les relations trigonométriques permettent de simplifier les calculs impliquant des fonctions trigonométriques de nombres complexes, facilitant ainsi l’analyse et la résolution de problèmes complexes dans divers domaines.

En résumé, les fonctions trigonométriques et les nombres complexes sont étroitement interconnectés, ce qui offre une perspective unifiée pour comprendre et manipuler des quantités mathématiques dans des contextes variés, allant de la géométrie à l’analyse complexe et aux applications en physique et en ingénierie.

Exercices sur les nombres complexes et trigonométrie

Les exercices suivants sur les nombres complexes et trigonométrie s’adressent aux élèves du baccalauréat scientifique.

Exercice:

  1. Trouver les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifiant la relation:\begin{align*}z_1z_2=i,\qquad z_1-z_2=1+i.\end{align*}
  2. Mettre $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

Solution:

  1. Dans cette question il faut bien faire attention et de ne pas se lancer dans des calcul horrible. En effet, il serait maladroit de déterminer $z_1$ en fonction de $z_2,$ puis de reporter l’expression de $z_1$ dans la deuxième équation. Nous allons présenter une autre méthode plus courte et plus élégante: On a\begin{align*}\begin{cases} z_1 z_2=i\cr z_1-z_2=1+i\end{cases}\;\Longleftrightarrow\;\begin{cases} z_1 (-z_2)=i\cr z_1+(-z_2)=1+i.\end{cases}\end{align*}Donc $z_1$ et $(-z_2)$ sont solution de l’équation:\begin{align*}\tag{E}t^2-(1+i)t-i=0.\end{align*}Le discriminant associé a cette équation est\begin{align*}\Delta&= 2i+4i=6i\cr &= \left(\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)\right)^2.\end{align*}Donc $Delta$ admet pour racines carrées:\begin{align*}\Delta_1=\sqrt{3}+\sqrt{3}i\quad \text{et}\quad \Delta_2=-\sqrt{3}-\sqrt{3}i.\end{align*}Les racines de l’équation $(E)$ sont donc\begin{align*}\lambda_1&=\frac{1+i+\Delta_1}{2}\cr &= \frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)\end{align*} et \begin{align*}\lambda_2&=\frac{1+i+\Delta_2}{2}\cr &= \frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i).\end{align*}Ainsi on $z_1=\lambda_1$ et $-z_2=\lambda_2$ ou $z_1=\lambda_2$ et $-z_2=\lambda_1$. D’où les solutions du système sont les couples $(\lambda_1,-\lambda_2)$ et $(\lambda_2,-\lambda_1),$ soit\begin{align*}&\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i), \frac{\sqrt{3}-1}{2}(1+i)\right),\;\text{et}\cr&\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i),\frac{-1-\sqrt{3}}{2}(1+i)\right).\end{align*}
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