Le but de cet article est de donner deux méthodes pour calculer les valeurs de l’intégrale de Gauss. C’est une intégrale généralisée qui apparaît dans plusieurs applications en mathématiques et en physique. Intégrale de Gauss: On a \begin{align*}\label{$\ast$} \int^{+\infty}_0 e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\end{align*} Calcul de l’intégrale Gauss par application de l’intégrale de Wallis Avant de commencer nous voudrions … Lire plus
De nombreuses fonctions importantes (les fonctions gamma, transformées de Fourier) ont la forme d’intégrales dépendant d’un paramètre. Dans cet article, nous étudierons et décrirons les propriétés générales des intégrales en fonction d’un paramètre. Les intégrales dépendant d’un paramètre est une partie importante dans le chapitre des intégrales généralisées. Une sélection d’exercices sur les intégrales dépendant … Lire plus
Le théorème des accroissements finis, en particulier de Rolle, est l’une des pierres angulaires du calcul différentiel. Il offre un aperçu profond de la relation entre la dérivée d’une fonction et les taux de variation locaux, tout en fournissant des outils essentiels pour comprendre les propriétés des fonctions continues et différentiables. Popularisé par le mathématicien … Lire plus
Nous donnons des exercices corrigés sur les variables aléatoires discrètes. Ce sont des variables aléatoires avec des valeurs dans un ensemble dénombrable (fini ou infini). Nous vous proposons des exercices corrigés sur ces variables. Ce cours est un préliminaire de probabilité. Exercices corrigés sur les variables aléatoires discrètes Loi de variable aléatoires Exercice: Soient $X$ … Lire plus
L’anneau des polynômes et les fonctions polynomiales jouent un rôle important dans l’algèbre linéaire, en particulier le polynôme scindé il entre dans les propriétés des matrices trigonalisables. Définition d’un polynôme scindé Soit $\mathbb{K}$ un corps. Un polynôme non nul $P\in \mathbb{K}[X]$ est dit scindé sur $\mathbb{K}$ si il prend la forme suivante \begin{align*} P= \lambda … Lire plus
Notre but est de donner la démonstration de la formule de Stirling. La preuve de cette formule est basée sur les intégrales de Wallis. L’importance de la formule de Stirling est qu’elle donne un équivalent de $n!$ ($n$ factorielle) puisqu’il est difficile de calculer ce nombre si $n$ est assez grand. Cette formule est due … Lire plus
Le lemme de Gronwall, du nom du mathématicien suédois T.H. Gronwall, est un outil essentiel en analyse mathématique, en particulier dans l’étude des inégalités. Ce résultat puissant offre une approche systématique pour établir des bornes supérieures sur des fonctions et des solutions d’équations différentielles. Dans cet article, nous plongeons dans les mécanismes et les applications … Lire plus
Parmi les théorèmes de compacité dans l’ensemble des nombres réels, on trouve le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce théorème est la clé de preuve de plusieurs théorèmes classiques en analyse mathématique. Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass Définition: Soit $(x_n)_n$ une suite de nombres réels. Tout suite de la forme $(x_{\varphi(n)})_n$, avec $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante, est appelé … Lire plus
Il y a un manque de littérature relativement aux exercices sur les espaces connexes. Le but de cet article est de vous donner une bonne sélection d’exemples de parties connexes. Un espace connexe est un espace qui ne peut pas être exprimé comme une union de deux sous-ensembles ouverts disjoints. Une bonne application de connexité … Lire plus
En analyse mathématique, les espaces compacts ont de nombreuses propriétés communes avec les espaces de dimension finie. Ces espaces satisfont la propriété de Borel-Lebesgue. Le rôle de la compacité est d’étendre certaines propriétés du local au global. Le but de cet article est de fournir des exercices corrigés sur les espaces compacts et les applications. … Lire plus