Par définition la valeur d’adhérence d’une suite est la limite d’une de ses sous-suites. C’est une notion importante étant donné qu’en mathématiques il suffit parfois que la sous-suite converge pour pousser les calculs vers une preuve d’un résultat en analyse mathématique. Généralités sur la valeur d’adhérence d’une suite Soit $(x_n)_n$ une suite de nombres réels. … Lire plus
Le développement d’une fonction en série entière est un outil mathématique extrêmement puissant qui permet d’approximer cette fonction complexe par un polynôme. Cette approche de représentation sous forme de série simplifie grandement l’analyse et la manipulation de la fonction en question. Dans cet article, nous explorerons le concept du développement d’une fonction en série entière … Lire plus
Nous répondons a la question suivante: comment trouver les extremums locaux d’une fonction? Cette notion est très importante car les les extremums fournissent beaucoup d’informations sur une fonction et aident à répondre aux questions d’optimalité. Définitions des extremums d’une fonction Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction et soit $x_0\in I$. On … Lire plus
Nous donnons un aperçu de la notion de partie entière d’un nombre réel. Il joue un rôle important dans la preuve des résultats en mathématiques. Il est également impliqué dans la division euclidienne et la densité des nombres rationnels dans l’ensemble des nombres réels. Généralités sur la partie entière d’un nombre réel L’ensemble des nombres … Lire plus
En analyse mathématique, pour démontrer une propriété sur un espace il suffit de la prouver sur une partie dense de cet espace. Ainsi la densité sert à simplifier les preuves. Par exemple, pour démontrer une propriété mathématique sur l’ensemble des nombres réels, il suffit de le faire sur l’ensemble des nombres rationnels qui est une … Lire plus
Lorsque le théorème de convergence dominée de Lebesgue n’est pas applicable, on utilise le lemme de Fatou qui est une version plus faible. Ce lemme est parfois très utile pour prouver des estimations d’intégrales. Théorème (Lemme de Fatou): Soit $(E,\mathscr{B},\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)_n$ une suite de fonctions mesurables et positives sur $E$. Alors … Lire plus
Les preuves des grands théorèmes de Lebesgue comme la convergence dominée sont basées sur le théorème de convergence monotone. Ce dernier peut être énoncé comme suit: étant donné une séquence positive croissante ponctuellement de fonctions réelles qui converge simplement, alors leurs intégrales convergent vers l’intégrale de la limite simple. Découvrons ensemble le théorème de convergence … Lire plus
Le théorème de convergence dominée est l’un des théorèmes les plus importants de la théorie de l’intégration de Lebesgue. Dans cet article, nous allons découvrir ce théorème et présenter quelques applications. Cette page s’adresse principalement aux étudiants des cycles supérieurs et aux candidats à l’agrégation de mathématiques. Énoncé du théorème de convergence dominée de Lebesgue … Lire plus
Nous donnons un résumé du cours ainsi que des exercices corrigés sur la convergence des variables aléatoires. En effet, on traite principalement de convergence en probabilité et de convergence en loi. De plus, nous verrons les relations entre ces modes de convergence. Ce cours est très utile pour les candidats à l’agrégation de mathématiques et … Lire plus
En calcul intégral, le théorème de Fubini et le théorème de Tonelli sont des résultats utilisés pour intégrer des fonctions à plusieurs variables ou pour intégrer une intégrale qui dépend d’un paramètre. Théorème de Fubini: intégrales sur un pavé compact Théorème (Fubini): Soient $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tel que $a<b$ et $c<d$ et $f:[a,b]\times [c,d]\to\mathbb{C}$ une fonction continue … Lire plus