Des exercices sur les sommes généralisées de Riemann sont proposés avec des solutions détaillées. Ces sommes sont liées à des intégrales généralisées. Des applications au calcul de suites de nombres réels sont également données.
Exercices corrigés sur les séries de fonctions sont proposés. Des séries dont le terme général est une suite de fonctions. Donc on a deux types de convergences, à savoir, la convergence simple et uniforme. Ces dernier sont facile a obtenir si on applique bien les critères de comparaisons. Paquet d’exercices corrigés sur les séries de … Lire plus
On propose des exercices sur les séries entières. C’est une classe importante de séries de fonctions très utiles en analyse mathématique. Paquet d’exercices sur les séries entières Exercice: (Rayon de convergence) Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:\begin{align*}& \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}z^n,\quad \sum_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{1}{n})^{n^2}z^n\\ & \sum_{n=0}^{+\infty}n^n z^n,\qquad \sum_{n=0}^\infty\frac{\ln(n)}{n^2}z^{n}\\ & \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^2}z^n,\qquad \sum_{n=0}^{+\infty}n^{\beta} z^n,\quad \beta\in\mathbb{R}.\end{align*} Solution: … Lire plus
Nous proposons un problème corrigé sur les intégrales de Wallis (John Wallis). Ce dernier est un mathématicien anglais, né en 1616 et décédé en 1703. Cet exercice est une bonne occasion de s’adapter au calcul intégral. Problème sur les intégrales de Wallis Pour chaque $n\in\mathbb{N},$ on définie une intégrale au sens de Riemann\begin{align*}\omega_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n(t)dt.\end{align*} Vérifier … Lire plus
Les inégalités de Hölder et Minkowski jouent un rôle central dans l’analyse mathématique et trouvent des applications puissantes en calcul intégral. Dans cet article, nous explorerons en détail ces inégalités, en expliquant leurs concepts, en mettant en évidence leurs utilisations et en fournissant des exemples concrets adaptés aux étudiants universitaires. Inégalité de Hölder Cette inégalité … Lire plus
Ici on propose un exercice corrigé sur une extension du lemme de Lebesgue pour les fonctions localement intégrables au sens de Riemann sur l’ensemble de nombres réels. On rappelle qu’une fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est dite localement intégrable au sens de Riemann sur $\mathbb{R}$ si pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ avec $a<b,$ la fonction $f$ est intégrable sur … Lire plus
On propose des exercices sur les intégrales de Riemann; en particulier sommes de Riemann, intégration parties et changement de variables. En effet, ces sommes sont importantes pour calculer les limites de suites. Exercices sur les intégrales de Riemann Il est crucial de retenir qu’au contraire de ce qui est enseigné au lycée, l’intégrale d’une fonction … Lire plus
Les équations différentielles sont des outils puissants pour modéliser des phénomènes qui varient en fonction du temps ou de l’espace. Une équation différentielle linéaire est une équation qui peut être écrite sous la forme $$ a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n}+\cdots+a_1(x)\frac{d y}{dx}+a_0(x)y=g(x),$$ où $a_i(x)$ et $g(x)$ sont des fonctions données. L’ordre de l’équation est le plus grand $n$ tel … Lire plus
Nous vous proposons un résumé des cours et des exercices corrigés sur les suites de Cauchy. Parfois, il est facile de montrer qu’une suite est convergente en prouvant simplement qu’il s’agit d’une suite de Cauchy. C’est le cas des suites récurrentes qui sont définies par des fonctions contractantes ou hölderiennes. Definition d’une suite de Cauchy … Lire plus
Nous proposons des exercices sur les relations d’équivalence, un sujet fondamental en mathématiques. Ces exercices pratiques vous guideront à travers les nuances et les applications concrètes des relations d’equivalence. En explorant ces exercices, vous développerez une compréhension solide de la manière dont les relations d’équivalence fonctionnent et comment elles peuvent être utilisées pour classer et … Lire plus