Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices. La diagonalisation fait partie de la réduction des endomorphismes.

Sélection d’exercices de diagonalisation des matrices

Exercice:

1. Soient $A$ et $B$ deux matrice carrées d’ordre $d$. De plus, soit $J$ une matrice carrée inversible d’ordre $d$ telle que \begin{align*}A=J B J^{-1}.\end{align*}Montrons que pour tout $ n\in \mathbb{N} $, on a:\begin{align*}A^{n}=JB^{n} J^{-1}.\end{align*}
2. \begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\end{align*}Calculer $ A^{n} $.

Solution:

1. Soient $ A,B $ et $ J $ trois matrices carrées avec $ J $ une matrice inversible, et telle que on a: $A=J B J^{-1}.$ Notons $ (P_n) $ la propriété à démontrer, et faisons un raisonnement par récurrence sur n. La propriété $ (P_1) $ est vraie par hypothèse. Supposons que, pour $ n $ entier naturel quelconque, $(P_n)$ soit vraie, et démontrons qu’alors $ (Pn+1) $ est vraie. On a:\begin{align*}A^{n+1}&= A^{n}A \cr &= (J B^{n}J^{-1})(JBJ^{-1})\cr &=J B^{n}B J^{-1} =J B^{n+1}J^{-1}.\end{align*}D’où par récurrence la propriété $(P_n)$ est donc démontrée pour tout entier naturel $n$.
2. Tout d’abord on diagonaliser la matrice\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\end{align*}-c’est à dire- déterminons une matrice inversible $ J$ telle que $ J^{-1}AJ $ soit diagonal. Pour se faire, on calcule premièrement le polynôme caractéristique de $ A $ comme suit\begin{align*}P_{A}(X)&=\begin{vmatrix} X-1 & -1 & 0 \\ -1 & X-1 & -1 \\ 0 & 0 & X+1 \end{vmatrix} \cr &= (X-1) \begin{vmatrix} X-1 & -1 \\ 0 & X+1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & X+1 \end{vmatrix}\cr &= X(X+1)(X-2).\end{align*}On constate que $ 0 ,-1$ et $ 2 $ sont trois racines simple du polynôme caractéristique $ P_{A} $. Il en résulte que la matrice $ A $ admet trois valeurs propres et qu’elle est diagonalisable. Après avoir compter les racines du polynôme caractéristique de la matrice $ A $, la deuxième étape est de déterminer les sous-espaces propres associées aux valeurs propres $ 0,-1 $ et $ 3 $. En effet, soit $ X= \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix}^{\top}$ on a le sous-espace propre associée à $ 0 $ est donnée par: $$ AX=0. $$ On obtient\begin{align*}\begin{cases} x_{1}+x_{2 }= 0\\ x_{1}+x_{2 } + x_{3} =0\\- x_{3} = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{2}= – x_{1}\\x_{3} = 0 \end{cases}.\end{align*} On en déduit le sous-espace propre associée à la valeur propre $ 0 $:\begin{align*}E_{0}(A)=\text{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}\right\}.\end{align*}De même par un calcule similaire on trouve les sous-espaces propres associées aux valeurs propres $ -1 $ et $ 2 $, respectivement: \begin{align*}&E_{-1}(A)=\text{Vect}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\3 \end{pmatrix}\right\} \qquad \text{et } \cr & E_{2}(A)=\text{Vect}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\right\}. \end{align*}
3. Les colonnes ainsi obtenu déterminent une base de vecteurs propres de l’endomorphisme canonique associé à $ A $. Considérons la matrice constituée par ces colonnes: $$ J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}. $$Observons que la matrice $ J $ est inversible car c’est la matrice de passage de la base canonique de $ \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) $ à une base de vecteurs propres. Ainsi, la formule de changement de base donne: $$ A=J DJ^{-1}\qquad \text{avec} \qquad D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$Maintenant en appliquant l’affirmation de la question (1) on obtient: $$ A^{n}=JD^{n} J^{-1} \qquad \text{avec} \qquad D^{n}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n} \end{pmatrix}. $$ D’autre part, on a l’inverse de la matrice de passage $ J $ est donnée: $$ J=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}. $$ On en déduit: $$ A^{n}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2^{n}.3 & 2^{n}.3 & (-1)^{n}.2+2^{n} \\ 2^{n}.3 & 2^{n}.3 & (-1)^{n}.(-4)+2^{n+1} \\ 0 & 0 & (-1)^{n}.6 \end{pmatrix}. $$

Voici un des exercices de diagonalisation des matrices qui utilise les suites récurrentes.

Exercice: Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle vérifiant, pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $$ u_{n+3}+3u_{n+2}-u_{n+1}-3u_{n}=0. $$ Pour tout $ n\in \mathbb{N} $, on pose \begin{align*}X_n=\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\\u_{n+2}\end{pmatrix}.\end{align*}

1. Déterminer une matrice $A$ d’ordre $3$ tel que $ X_{n+1}=AX_{n}.$.
2. Diagonaliser la matrice $ A $ et en déduire une expression de $ A^{n} $ valable pour $ n\in\mathbb{N}$.
3. Exprimer $ u_{n} $ en fonction de $ u_{0},u_{1},u_{2} $ et de $ n\in \mathbb{N}$.

Solution:

Nous proposons des exercices corrigés sur les polynômes et fractions rationnelles. En particulier, la division de deux polynômes et les propriétés de l’anneau des polynômes.

Paquet d’exercices corrigés sur les polynômes

Exercice: Déterminer les entiers $n\in\mathbb{N}$ avec $n\ge 3$ tel que le polynômes\begin{align*}P_n=(X-1)^n-(X^n-1)\in \mathbb{C}[X]\end{align*}ait au moins un zéro d’ordre au moins $2$.

Solution: Pour avoir un zéro d’ordre au moins $2$ il faut que $P_n(z)=P’_n(z)=0$. Ce qui est équivalent à $(z-1)^n-z^n+1=0$ et $(z-1)^{n-1}=z^{n-1}$. La deuxième équation implique $z^n=z(z-1)^{n-1}$. En remplace $z^n$ dans la première équation on a alors $(z-1)^{n-1}=1$. Ainsi avoir un zéro d’ordre au moins $2$ il faut et il suffit que $z^{n-1}=(z-1)^{n-1}=1$. Pour résoudre cette équation complexe on pose\begin{align*}w=\frac{z}{z-1}.\end{align*}On a donc $w^{n-1}=1$. D’où il existe $k\in \{0,1,\cdots,n-1\}$ tel que $w=e^{\frac{2ik\pi}{n-1}}$. Il faut exclure $w=1$ car l’équation $\frac{z}{z-1}=1$ n’a pas de solution. Ainsi notre $k$ est dans l’ensemble $\{1,\cdots,n-1\}$. Par un calcul simple on a $|z|=1$ et\begin{align*}z=\frac{w}{w-1}&=\frac{e^{\frac{2ik\pi}{n-1}}}{e^{\frac{2ik\pi}{n-1}}-1}\cr & =\frac{e^{\frac{ik\pi}{n-1}}}{e^{\frac{ik\pi}{n-1}}-e^{\frac{-ik\pi}{n-1}}}\cr &= \frac{e^{\frac{ik\pi}{n-1}}}{2i s\in\left(\frac{k\pi}{n-1}\right)}.\end{align*}Pour que $|z|=1$ il faut choisir un $n$ tel que $s\in\left(\frac{k\pi}{n-1}\right)=\frac{1}{2}$, c’est à dire $\frac{k}{n-1}=\frac{1}{6},$ ou encore $n=6k+1$.

Exercice: Soit $\alpha\in\mathbb{R}^\ast,$ et $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé et à zéros tous simples. Montrer que les zéros dans $\mathbb{C}$ de $P^2+\alpha^2$ sont tous simples.

Solution: Raisonnement par l’absurde. Supposons que le polynôme $P^2+\alpha^2$ admet au moins un zéros double noté $z$. Donc la dérivée de $P^2+\alpha^2$ en $z$ est nulle, soit $P(z)P'(z)=0$. Par hypothèse $P(z)\neq 0$ car les zéros de $P$ sont tous simple. On a alors $P'(z)=0$. D’autre part, $P’$ est scindé sur $\mathbb{R}$ ( décomposable en facteurs de degré 1 sur $\mathbb{R}$), donc $z\in \mathbb{R}$. Contradiction car $P^2+\alpha^2$ n’admet de zéro réel.

Exercice: Soient $p,q\in \mathbb{N}^\ast$. On note $r$ le reste de la division euclidienne de $p$ et $q$ dans $\mathbb{Z}$. Démontrer que le reste de la division euclidienne dans $\mathbb{K}[X]$ de $X^p-1$ par $X^q-1$ est $X^r-1$.

Solution: La question est de chercher un polynôme $A\in \mathbb{K}[X]$ tel que $X^p-1=A(X^q-1)+X^r-1$. Ce qui est équivalent à $A (X^q-1)=X^p-X^r$. D’après la division euclidienne de $p$ par $q$, il existe $a$ entier tel que $p=aq+r$. On a donc \begin{align*}X^p-X^r=(X^a)^q X^r-X^r= X^r \left((X^p)^a-1\right).\end{align*}Comme \begin{align*}(X^p)^a-1= (X^q-1)\left((X^q)^{a-1}+\cdots+1\right).\end{align*}Alors Alors on prend $A=(X^q)^{a-1+r}+(X^q)^{a-2+r}+\cdots+X^r$.

D’autres exercices sur le polynôme scindé.

Dans cet article, nous allons explorer en profondeur les morphismes de groupe en présentant une série d’exercices conçus pour vous aider à maîtriser ce sujet essentiel.

Les morphismes de groupe constituent un concept central en mathématiques, en particulier dans la théorie des groupes. Ils permettent de comprendre comment les groupes sont reliés les uns aux autres et comment les structures algébriques interagissent.

Définition d’un morphisme de groupe

Avant de plonger dans les exercices, rappelons brièvement ce qu’est un morphisme de groupe. Un morphisme de groupe est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus precisement:

Les morphismes de groupe occupent une grande part dans les exercices sur les groupes. De plus si $e$ et $e’$ sont les éléments neutres de $G$ et $G’$, respectivement, alors on a les résultats suivants sur un morphisme de groupe $f : G\to G’$:

Isomorphismes de groupe

Soit $f:G\to G’$ un morphisme de groupe. L’ensemble suivante ${\rm Im}(f)=f(G)$ est appelé l’image du morphisme $f$, c’est un sous groupe de $G’$. De plus $f$ est surjective si et seulement si ${\rm Im}(f)=G’$.

D’autre part, l’ensemble $$ \ker(f)=\{a\in G: f(a)=e’\}$$ est appelé le noyau de $f$, c’est un sous groupe de $G$. De plus, $f$ est injective si et seulement si $\ker(f)=\{e\}$.

Exercices sur les morphismes de groupe

Nous proposons une sélection d’exercices sur le déterminant de Vandermonde et ses application. En effet, ces exercices sont destinés aux étudiants de première année universitaire et classes préparatoires. Nous avons déjà dédié une page de ce site qui étudie tous les types de déterminants des matrices carrées.

Sélection d’exercices sur le déterminant de Vandermonde

Exercice (déterminant de Vandermonde): Soient $n\in\mathbb{N}^\ast$ et $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{C}$. Be but est de donner l’expression du déterminant suit appelé le déterminant de Vandermonde:\begin{align*} V_n(a_1,\cdots,a_n):=\begin{vmatrix} 1& a_1&a_1^2&\cdots&a_1^{n-1}\\ 1& a_2&a_2^2&\cdots&a_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1& a_n&a_n^2&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}\end{align*} On pose $P_n(x)=V_n(a_1,\cdots,a_{n-1},x)$ pour $n\ge 1$ et $x\in\mathbb{C}$.

1.  Montrer que $P_n$ est une fonction polynomiale de degré inferieur à $n-1$ et préciser le coefficient de son terme de degré $n-1$.
2. En déduire la relation \begin{align*}\tag{$\ast$} V_n(a_1,\cdots,a_n)=V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i).\end{align*}
3.  Coclure que \begin{align*}\tag{$\ast\ast$} V_n(a_1,\cdots,a_n)=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i).\end{align*}

Solution: Dans la suite $x\in \mathbb{C}$ et $n\ge 2$.

1. $P_n(x)$ un déterminant qui dépond de $x$, on le développe selon la dernière line. Donc on a \begin{align*} P_n(x)=\sum_{j=1}^n (-1)^{n+j} \beta_{j-1}x^{j-1},\end{align*} avec $\beta_{j-1}$ est le déterminant de la matrice obtenu par suppression de la $j$-ième colonne et de la dernière ligne. Notez que $\beta_0,\cdots,\beta_{n-1}$ ne dépondent pas de $x$. Donc $P_n(x)$ une fonction polynomiale de degre inferieur à $n-1$. De plus le coefficient de $x^{n-1}$ correspond à $\beta_{n-1}$ est exactement  $V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})$.
2.  Notez que si $x\in \{a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}\}$, alors $P_n(x)=0$ car matrice du déterminant var contenir deux lignes identiques. Deux cas doivent alors être distingués. Premier cas: $a_i\neq a_j$ pour tout $i,j\in\{1,2,\cdots,n-1\}$.  Donc d’apres la question precedente on a \begin{align*} P_n(x)=V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(x-a_i).\end{align*} Ains la relation ($\ast$) est obtenu en prenant $x=a_n$. Deuxième cas: les $a_1,\cdots,a_{n-1}$ ne sont pas deux à deux distincts, donc le déterminant contiendra des lignes identiques et donc il est nulle. De même, le côté droit de ($\ast$) est également égal à zéro. Dans cette relation est bien vérifier.
3.  Nous allons procéder par récurrence.  Pour $n=2,$ on a \begin{align*} V_2(a_1,a_2)=\begin{vmatrix}1&a_1\\ 1&a_2\end{vmatrix}=a_2-a_1.\end{align*} Donc la relation ($\ast\ast$) est varie dans ce cas. Maintenanant, supposons que ($\ast\ast$) est vraie pour le rang ($n-1$). D’après la relation ($\ast$) on a \begin{align*}V_{n}(a_1,\cdots,a_{n})&= V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i) \cr &= \prod_{1\le i<j\le n-1}(a_j-a_i)\;\underset{j=n}{\underbrace{\prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i)}}\cr &=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i).\end{align*}

Cette formule est due au mathématicien Français  Alexandre-Théophile Vandermonde.

On propose des exercices corrigés sur le calcul matriciel. En effet, les exercices corrigés sur les matrices sont à la fois pratiques et théoriques. 

Exercices corrigés sur le calcul matriciel