Nous donnons une étude de la fonction Gamma d'Euler dans le cas de variables réelles et complexes. Cette fonction a une relation étroite avec le nombre factoriel. En fait, elle est introduite pour étendre la notation de la factorielle...
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Fonction indicatrice

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L'une des fonctions les plus importantes en mathématiques et la fonction indicatrice. Il est souvent utilisé en théorie de l'intégration (espace de Lebesgue) et en particulier en probabilité. Nous donnons les propriétés de cette fonction ainsi que quelques exercices...
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Lemme de Fatou

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Lorsque le théorème de convergence dominée de Lebesgue n'est pas applicable, on utilise le lemme de Fatou qui est une version plus faible. Ce lemme est parfois très utile pour prouver des estimations d'intégrales. Théorème (Lemme de Fatou): Soit $(E,mathscr{B},mu)$...
Les preuves des grands théorèmes de Lebesgue comme la convergence dominée sont basées sur le théorème de convergence monotone. Ce dernier peut être énoncé comme suit: étant donné une séquence positive croissante ponctuellement de fonctions réelles qui converge simplement,...
Le théorème de convergence dominée est l'un des théorèmes les plus importants de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Dans cet article, nous allons découvrir ce théorème et présenter quelques applications. Cette page s'adresse principalement aux étudiants des cycles...
Nous donnons un résumé du cours ainsi que des exercices corrigés sur la convergence des variables aléatoires. En effet, on traite principalement de convergence en probabilité et de convergence en loi. De plus, nous verrons les relations entre ces...
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Théorème de Fubini

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En calcul intégral, le théorème de Fubini et le théorème de Tonelli sont des résultats utilisés pour intégrer des fonctions à plusieurs variables ou pour intégrer une intégrale qui dépend d'un paramètre. Théorème de Fubini: intégrales sur un pavé compact Théorème...
Nous proposons des exercices corrigés sur les équations différentielles non linéaires; en particulier les problèmes de Cauchy non linéaires. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution maximale pour certaines équations différentielles. Nous appliquons le théorème d'explosion pour voir...
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Espace de Lebesgue

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L'espace de Lebesgue des fonctions p intégrables est impliqué dans de nombreux modèles physiques et biologiques, tels que l'équation de la chaleur et la dynamique des populations. Ce dernier utilise l'espace des fonctions intégrables (espace $L^1$) comme espace des...
Nous proposons des exercices corrigés sur le calcul différentiel dans les espaces de Banach. En effet, le calcul différentiel est très utile pour les équations aux dérivées partielles (EDP) et l'optimisation. Le calcul différentiel en dimension infini est déjà...

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Exercices sur les relations d’ordre

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On propose des exercices sur les relations d’ordre. On peux donc comparer les éléments d'un ensemble. Cela permet de déterminer le plus petit et...
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Loi de Bernoulli