Exercices corrigés sur les fonctions lipschitziennes

Nous donnons des exercices corrigés sur les fonctions lipschitziennes et leurs relation avec les fonctions continues et uniformément continues

Definition: Soit $I$ un interval de $\mathbb{R}$.  Une $f:I\to \mathbb{R}$ est $\gamma$-lipschitzienne sur $I$ si il existe un réel $\gamma>0$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma |x-y|,\qquad \forall x,y\in I.\end{align*} Si de plus on a $\gamma\in ]0,1[$, alors $f$ est dite fonction contractante, ou une contraction.

Exercice: Montrer que toute fonction lipschitzienne sur $I$, alors $f$ est uniformément continue sur $E$

Solution: Par hypothese, il existe $\gamma>0$ tel que  \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma |x-y|,\qquad \forall x,y\in I.\end{align*} Soit $\varepsilon>0$ et on pose $\alpha:=\frac{\varepsilon}{\gamma}$. Soit alos $x,y\in I$ tels que $|x-y|<\alpha$. Donc $\gamma |x-y|<\varepsilon$. Et par suite $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. ce qu'il fallait démontrer.

Exercices: Soit $K$ un ensemble de $\mathbb{R}$ et $f:K\to\mathbb{R}$ une fonction dérivables sur $I$ telle que il existe $M>0$ avec $|f'(t)|\le M$ pour tout $t\in K$ (c'est a dire $f'$ est bornée sur $K$). 

1. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $K$.
2. On suppose que $K$ est compact et que $f$ est de classe $C^1$ sur $K$ ($f\in C^1(K)$). Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $K$.

Solution: 1- Soit $x,y\in K$. On applique le théorème des accroissements finis a $f$ sur l intervalle d'extimités $x$ et $y$. Il existe donc $c$ strictement entre $x$ et $y$ tel que $f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$. Donc \begin{align*}|f(x)-f(y)|=|f'(c)||(x-y)| \le M |x-y|.\end{align*} 2- Comme $f\in C^1(K)$ alors $f'$ est continue sur le compact $K$. Donc $f'$ est bornée sur $K$. Donc $f$ est lipschitzienne sur $K$ d'après la question 1.

Remarque: Dans le cas ou $f$ est dérivable, pour montrer que $f$ est lipschitzienne il suffit de montrer que sa fonction dérivée est bornée.