Exercices corrigés sur les fonctions lipschitziennes

Nous donnons des exercices corrigés sur les fonctions lipschitziennes et leurs relation avec les fonctions continues et uniformément continues

Définition et propriétés des fonctions lipschitziennes

Definition: Soit $I$ un interval de $\mathbb{R}$.  Une $f:I\to \mathbb{R}$ est $\gamma$-lipschitzienne sur $I$ si il existe un réel $\gamma>0$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma |x-y|,\qquad \forall x,y\in I.\end{align*} Si de plus on a $\gamma\in ]0,1[$, alors $f$ est dite fonction contractante, ou une contraction.

Exercice: Montrer que toute fonction lipschitzienne sur $I$, alors $f$ est uniformément continue sur $E$

Solution: Par hypothese, il existe $\gamma>0$ tel que  \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma |x-y|,\qquad \forall x,y\in I.\end{align*} Soit $\varepsilon>0$ et on pose $\alpha:=\frac{\varepsilon}{\gamma}$. Soit alos $x,y\in I$ tels que $|x-y|<\alpha$. Donc $\gamma |x-y|<\varepsilon$. Et par suite $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. ce qu’il fallait démontrer.

Exercices: Soit $K$ un ensemble de $\mathbb{R}$ et $f:K\to\mathbb{R}$ une fonction dérivables sur $I$ telle que il existe $M>0$ avec $|f'(t)|\le M$ pour tout $t\in K$ (c’est a dire $f’$ est bornée sur $K$). 

1. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $K$.
2. On suppose que $K$ est compact et que $f$ est de classe $C^1$ sur $K$ ($f\in C^1(K)$). Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $K$.

Solution: 1- Soit $x,y\in K$. On applique le théorème des accroissements finis a $f$ sur l intervalle d’extimités $x$ et $y$. Il existe donc $c$ strictement entre $x$ et $y$ tel que $f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$. Donc \begin{align*}|f(x)-f(y)|=|f'(c)||(x-y)| \le M |x-y|.\end{align*} 2- Comme $f\in C^1(K)$ alors $f’$ est continue sur le compact $K$. Donc $f’$ est bornée sur $K$. Donc $f$ est lipschitzienne sur $K$ d’après la question 1.

Remarque: Dans le cas ou $f$ est dérivable, pour montrer que $f$ est lipschitzienne il suffit de montrer que sa fonction dérivée est bornée.