Exercices de suites réelles pour terminale scientifique

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Nous proposons des exercices corrigés sur les les suite réelles pour terminale. En particulier, les suites récurrentes, convergence et limites de suites. Les suites jouent un rôle important dans le programme de mathématiques du secondaire et sont également souvent attribuées au test de mathématiques final. Ainsi quelques extraits des annales du Baccalauréat sur les suites numériques sont également disponibles.

Pour un rappel de cours voir : un cours sur la notion de limite de suites.

Exercices sur les suites  numériques pour terminale 

Exercice: Calculer la limite de la suite $u$ de terme général:\begin{align*}\begin{array}{cc} 1.\;u_n=\frac{n^2+n-1}{n^2-n\cos(n)} & 2.\;u_n=\frac{(-1)^n}{n} \cr 3.\;u_n=n-\sqrt{n^2+(-1)^n} & 4.\;u_n=n\sin\left(\frac{1}{n^2}\right) \cr 5.\;u_n=\frac{2^n-3^n}{2^n+3^{n}} & 6.\;u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^{n}},\;(a,b\in\mathbb{R}^\ast_+). \end{array}\end{align*}

Solution:

  1. Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on peut écrire \begin{align*}u_n&= \frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(1-\frac{\cos(n)}{n}\right)}\cr &= \frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{\cos(n)}{n}}.\end{align*}Comme $-1\le\cos(n)\le 1,$ alors \begin{align*}-\frac{1}{n}\le\frac{\cos(n)}{n}\le \frac{1}{n},\quad \forall n\ge 1.\end{align*}Ce qui donne $$\lim_{n\to+\infty}\frac{\cos(n)}{n}=0.$$Par suite $$\lim_{n\to+\infty} u_n=1.$$
  2. On rappelle que \begin{align*}(-1)^n=\begin{cases} 1,&\text{si}\;n\;\text{est pair}\cr 1,&\text{si}\;n\;\text{est impair}. \end{cases}\end{align*} Donc dans tous les cas, on a $|(-1)^n|=1$. D’où\begin{align*}|u_n|=\frac{1}{n} \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0.\end{align*}Ce qui implique que $u_n\to 0$ quand $n\to+\infty$.
  3. Pour tout $n\ge 1$ on a \begin{align*}u_n&=n\left(1-\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}\right)\cr &= n \frac{1-1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{1+\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}} \cr &= \frac{\frac{(-1)^n}{n}}{1+\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}}.\end{align*}D’après la question 2, on a \begin{align*}\lim_{n\to+\infty} u_n =\frac{0}{2}=0.\end{align*}
  4. Comme $|\sin(x)|\le |x|$ pour tout $x\in\mathbb{R},$ alors pour tout entier $n\ge 1,$ on \begin{align*}|u_n|=n \left|\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\right|\le n\times \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}.\end{align*}Ceci montre que$$ -\frac{1}{n}\le u_n\le \frac{1}{n}. $$ Ainsi $$ \lim_{n\to +\infty} u_n=0. $$
  5. On rappelle que si $q\in ]-1,1[$ (i.e. $|q| < 1$), alors la suite géométrique $q^n\to 0$ quand $n\to +\infty$. Pour tout entier $n\ge 0$ on peut écrire \begin{align*}u_n&=\frac{3^n \left(\left(\frac{2}{3}\right)^n – 1\right)}{3^n \left(\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1\right)}\cr & =\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n – 1}{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}.\end{align*}D’après la remarque en haut on a \begin{align*}\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n=0.\end{align*}Donc $$ \lim_{n\to +\infty} u_n= -1.$$
  6. Si $a=b$ alors $u_n=0$ pour tout $n$ est donc converge vers $0$ à l’infini. Si $a>b$, alors on factorise par $a^n,$ et en simplifie par $a^n$ on trouve \begin{align*}u_n=\frac{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n}.\end{align*}Comme $\frac{b}{a}\in ]0,1[$ alors \begin{align*}\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n=0.\end{align*}Donc $u_n$ tends vers $1$ quand $n\to \infty$. $b>a$, alors on factorise par $b^n,$ et en simplifie par $b^n$ on trouve \begin{align*}u_n=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^n-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n+1}.\end{align*}Comme $\frac{a}{b}\in ]0,1[$ alors \begin{align*}\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n=0.\end{align*}Donc $u_n$ tends vers $-1$ quand $n\to \infty$.

Exercice:

  1. Montrer que la suite $$ u_n=\sum^n_{k=0}\frac{1}{k!} $$ est convergente (on ne demande pas de calculer la limite).
  2. Soient $p\in ]0,+\infty[$ et $(S_n)$ la suite définie par $$ S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}. $$ Montrer que $(S_n)$ converge vers $0$ si $p>1$ et diverge vers $+\infty$ si $p < 1$.

Solution:

  1. On remarque que les termes de cette somme sont tous positifs. Donc cette somme définie une suite croissante (c’est une règle générale). En effet, pour tout $n$ on a \begin{align*}u_{n+1}&= \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} \cr&=\left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\right)+\frac{1}{(n+1)!}\cr &= u_n+\frac{1}{(n+1)!}.\end{align*}Ainsi $$ u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)!} >0. $$ Donc $(u_n)_n$ est une suite stictement croissante. Maintenant nous allons montrer que $(u_n)_n$ est majorée. En effet on a pour tout $n\ge 2$ \begin{align*}u_n=1+ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}.\end{align*}Mais pour tous $k\ge 2$ on a $k!=2\times 3\times \cdots k\ge 2\times 2\times \cdots 2=2^{k-1}$. Ceci implique que \begin{align*}u_n&\le 1+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}}\cr & = 1+ \left(1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)\cr & = 1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-\frac{1}{2}}= 1+2 \left( 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \right)\end{align*}Mais $$ 0< 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} < 1. $$ Donc $u_n\le 1+2=3$. La suite $(u_n)$ est donc majorée. Comme toute suite croissante et majorée est convergente, alors la suite $(u_n)$ est convergente.
  2. Le cas où $p>1$: Nous allons encadrer la suite $(S_n)$ par deux suites qui tendent vers zéro quand $n\ge 1$ tend vers $+\infty$. Tout d’abord, il faut remarquer que $S_n\ge 0$ pour tout $n\ge 1$. De plus on a $n+k\ge n$ pour tout $k\in{0,1,\cdots,n}$. Donc $\frac{1}{n+k}\le \frac{1}{n}$ pour tout $k$. Maintenant par passage à la somme dans les deux cotés de cette inégalité, on trouve \begin{align*}0\le S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{(n+k)^p}\le \sum_{k=0}^n \frac{1}{n^p}= n \frac{1}{n^p}= \frac{1}{n^{p-1}}.\end{align*}Comme $p>1$ alors $\frac{1}{n^{p-1}}\to 0$ quand $n\to+\infty$. Donc $S_n\to 0$ quand $n\to+\infty$. Le cas où $p < 1$: Nous allons minorée $S_n$ par une suite qui tends vers $+\infty$ à l’infinie. En effet, pour tout $n\ge 1$ et tout $k\in\{0,1,\cdots,n\}$ on a $n+k\le n+n=2n$ et donc \begin{align*}S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{(n+k)^p}\ge =\sum_{k=0}^n \frac{1}{(2n)^p} = n \frac{1}{(2n)^p}=\frac{1}{2^p} n^{1-p}.\end{align*}Comme $1>p$ alors $1-p>0$ et donc la suite $n^{1-p}$ tend vers $+\infty$ quand $n\to +\infty$. D’où $S_n\to +\infty$ quand $n\to+\infty$.
Pour plus de details sur les suites on pourra voir aussi le site.

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