Exercices sur les séries de fonctions

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Des exercices corrigés sur les séries de fonctions sont proposés avec solutions détaillés. Ce sont des séries dont le terme général est une suite de fonctions. Donc on a deux types de convergences, à savoir, la convergence simple et uniforme. Ces dernier sont facile a obtenir si on applique bien les critères de comparaisons.

Convergence simple et uniforme des séries de fonctions

Exercice: Etudier la convergence simple, normale est uniforme de la série de fonctions $\sum u_n(x)$ suivante: \begin{align*}u_n(x)=\frac{x}{(1+nx)(1+(n+1)x)} \,\quad (x\in\mathbb{R}^+).\end{align*}

Solution: On remarque que pour tout $x\ge 0$ and $n\ge 1$ on a\begin{align*}\frac{x}{(1+nx)(1+(n+1)x)}=\frac{1}{1+nx}-\frac{1}{1+(n+1)x}.\end{align*}Alors la suite de somme partielles,\begin{align*}S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_n(x)=1-\frac{1}{1+(n+1)x}.\end{align*}Ce qui implique que $S_n(x)$ converge vers $1$ quand $n\to+\infty$ pour tout $x>0$, et vers $0$ si $x=0$. Donc la série de fonction $\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ définie par\begin{align*}f(x)=\begin{cases} 1,& x>0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}La fonction $f$ n’est pas continue sur $\mathbb{R}^+$. Comme les fonctions $u_n$ sont continues sur $\mathbb{R}^+,$ alors la convergence de la série n’est pas uniforme sur $\mathbb{R}^+$, car sinon la limite $f$ sera aussi continue sur $\mathbb{R}^+$. D’autre part, soit $a>0$ un réel. Alors on a\begin{align*}\sup_{x\ge a} |S_n(x)-1|\le \frac{1}{1+(n+1)a}.\end{align*}Donc la série $\sum u_n(x)$ converge uniforment vers la fonction constante égale à $1$ sur $[a,+\infty[$.

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