Généralités sur les groupes classiques

On donnes des généralités sur les groupes classiques. En effet, on propose des exercices corrigés sur la théorie des groupes pour la deuxième année. En particulier des exercices classiques sur les groupes finis.

Exercice (question de cours): Soit $G$ un groupe fini d’ordre $n$. Montrer que, pour tout $x\in G$ on a $x^n=e$.

Solution: Soit $x\in G$ et soit $H=\langle x\rangle$ le sous groupe de $G$ engendré par $x$, on a donc $H={x^q:q\in \mathbb{Z}}$. Soit $r$ l’ordre de $H$. Donc $r|n$. Il suffit donc de montrer que $x^r=e$. Soit l’application $f:\mathbb{Z}\to H$ tel que $q\mapsto f(q)=x^q$. Cette application est surjective. Soit maintenant l’ensemble \begin{align*}V={q\in \mathbb{Z}:f(q)=e}.\end{align*}Il est facile de montrer que $V$ est un sous groupe de $\mathbb{Z}$. Donc il est de la forme $V=k\mathbb{Z}$ avec $k\in\mathbb{Z}$. De plus il faut remarquer que $q-q’\in k\mathbb{Z}$ si et seulement si $f(q)\left(f(q’)\right)^{-1}=e$. This shows that $H$ is isomorphe au groupe quotient $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$. Donc ${\rm card}(H)=k$, ainsi $r=k$ et $x^r=e$.

Exercice: Soit $G$ un groupe commutatif d’ordre $p$ avec $p$ impair. Montrer que l’application $f:G\to G$ telle que $x\mapsto f(x)=x^2$ est injective.

Solution: Soient $x,y\in G$ teks que $f(x)=f(y),$ et donc $x^2=y^2$. D’où $(xy^{-1})^2=e$. Donc le sous groupe engendré par $xy^{-1}$ (noté $\langle xy^{-1} \rangle$) est d’ordre $2$ (voir Exercice 1 en haut). Ceci implique que $2|p$. Ce n’est pas possible car $p$ est impair. Ainsi $xy^{-1}=e,$ donc $x=y,$ c’est l’injectivité. Remarque: Pour un groupe $G$ l’application $x\mapsto x^{-1}$ est un morphisme si et seulement si $G$ est commutatif.

Exercice: Soit $G$ un groupe d’ordre $p$ avec $p$ impair. Montrer que l’application $f:G\to G$ telle que $x\mapsto f(x)=x^2$ est bijective.

Solution: Ici le recours au noyau est inutile vue que $G$ n’est pas forcément commutatif (donc on ne peut pas déduire l’injectivité par la méthode utiliser dans l’exercice précédent). Montrons la surjectivité. Soit $y\in G$ et montrons qu’il existe $x\in G$ tel que $y=x^2$. Comme l’ordre de $G$ est impair, alors tous sous groupe de $G$ a un ordre impair. En particulier l’ordre de sous groupe engendré par $y$ (qui est $\langle y \rangle$) est de la forme $2m+1$. On a alors $y^{2m+1}=e,$ donc $y^{2m+2}=y.$ Autrement dit $y=(y^{m+1})^2$. En prend alors $x=y^{m+1}$. On a $y=x^2=f(x)$. D’où la surjectivité. Le $x$ est déterminer d’une manière unique (explicite en fonction de la donnée $y$). Donc $f$ est bijective.

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