Extraits des annales de Mathématiques pour terminale S

Nous vous proposons une sélection d’extraits des annales mathématiques du baccalauréat scientifique. En effet, nous traitons des problèmes qui combinent l’étude des fonctions avec des intégrales et des suites de nombres réels. De plus, nous donnerons des problèmes sur des nombres complexes.

Problème: Soit la suite numérique réelle $(u_n)$ définie par \begin{align*}u_{n}=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right),\qquad \forall n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}

  1. Calculer $u_{n+1}-u_n$ et déduire que la suite $(u_n)_n$ est décroissante.
  2. On pose $v_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$. Calculer $v_n$ en fonction de $n,$ puis la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. La suite $(v_n)$ est-elle convergente ?
  3. On pose $w_n=u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{2n}$. Calculer $w_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $w_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. la suite $(w_n)_n$ est elle convergente ?

Solution:

  1. Pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right)-\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\cr & = \ln\left(\frac{n+2}{n+1}\frac{n}{n+1}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right).\end{align*}D’autre part, $0 < n^2+2n < n^2+2n+1$, ce sui implique que\begin{align*}0 < \frac{n^2+2n}{n^2+2n+1} < 1.\end{align*}Par suite \begin{align*}\ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right) < 0.\end{align*}Donc pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$ $u_{n+1}-u_n < 0$. En conséquence la suite $(u_n)_n$ est strictement décroissante.
  2. On a \begin{align*}v_n&=u_1+u_2+\cdots+u_n\cr & = \ln\left(\frac{2}{1}\right)+\ln\left(\frac{3}{2}\right)+\ln\left(\frac{4}{3}\right)+\cdots+\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{2}{1}\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots\times \frac{n+1}{n}\right)\cr &= \ln(n+1).\end{align*}D’où \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} v_n=+\infty.\end{align*}Donc la suite $(v_n)_n$ est divergente.
  3. Pour tout $n\in \mathbb{N}^\ast$ on a\begin{align*}W_n&=u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{2n}\cr & = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)+\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right)+\ln\left(\frac{n+3}{n+2}\right)+\cdots+\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n+1}{n}\times \frac{n+2}{n+1}\times\frac{n+3}{n+2}\times \cdots\times \frac{2n+1}{2n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{2n+1}{n}\right).\end{align*} Ce qui implique \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} w_n=\ln(2).\end{align*}Donc la suite $(v_n)_n$ est convergente.

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