Calcul différentiel dans les espaces de Banach

On propose des exercices corrigés sur le calcul différentiel dans les espaces de Banach. En effet, le calcul différentiel est très utile pour les équations différentielles partielles (EDP) et l’optimisation. En général, les étudiant trouvent des difficultés pour le calcul différentiel;c’est pourquoi nous donnons ici de bonnes applications de ce calcul.

Exercice: Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un espace vectoriel normé de dimension quelconque. On note par $E^\ast=E\setminus{0}$ et Soit $f:E^\ast\to F$ une application continue positivement continue de degré $p>0$, c’est à dire\begin{align*}\tag{$\ast$}\forall x\in E^\ast,\quad \forall t>0,\qquad f(tx)=t^pf(x).\end{align*}

  1. Montrer qu’il existe un réel $A$ tel que\begin{align*}\|f(x)\|\le A \|x\|^p,\qquad \forall x\in E^\ast,\end{align*}et montrer que l’on n’a pas $f(x)=o(\|x\|^p)$ au voisinage de l’origine que si $f$ est la fonction nulle. Dans toute la suite on suppose que $f$ est prolongée à l’origine par $f(0)=0$.
  2. Montrer que si $f$ est de classe $C^k$ ($k < p$) sur $E^\ast,$ alors $f$ est de classe $C^k$ sur $E$.
  3. Montrer qu’il n’existe aucun entier $k\ge p$ tel que $f^{(k)}(0)$ existe, sauf si $k=p$ et si $f$ est un polynôme de degré $p$.
  4. Application. Déterminer l’ordre maximum de différentiabilité à l’origine des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}^2$ par:\begin{align*}f(x,y)&=\frac{x^3y^3}{x^2+y^2}\quad\text{si}\quad (x,y)\neq (0,0),\quad\text{et}\quad f(0,0)=0.\cr g(x,y)&= (y^4-x^4)e^{-\frac{y^2}{x^2}}\quad\text{si}\quad x\neq 0,\quad\text{et}\quad g(0,y)=0.\end{align*}

Solution: 1) Soit la sphère unité de $E:$ \begin{align*}S:={x\in E: \|x\|=1}.\end{align*}Comme $E$ est de dimension fini alors $S$ est compact (en dimension finie les compacts sont les fermés bornés). D’autre part, comme $f$ est continue sur $S,$ alors elle est bornée sur $S$, c’est-à-dire il existe $A>0$ tel que $\|f(x)\|\le A$ pour tout $x\in S$. Maintenanat, on remarquons que pour $x\in E^\ast$ on a $\frac{x}{\|x\|}\in S$ et on applique l’égalité ($\ast$) pour $t=\frac{1}{\|x\|}$, on trouve\begin{align*}A\ge \left\|f\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right\|=\left(\frac{1}{\|x\|}\right)^p \|f(x)\|\end{align*}D’où le résultat. Comme $p>0$ en deduit donc que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Ainsi $f$ est prolongeable par continuité en $0,$ en posons $f(0)=0$, et donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Supposons que $f(x)=o(\|x\|)$ au voisinage de $0$. Cela signifie que\begin{align*}\lim_{\|x\|\to 0} \frac{f(x)}{\|x\|^p}=0.\end{align*} Donc pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x\in E$ avec $\|x\|\le \alpha$ on a $\|f(x)\|\le \varepsilon \|x\|^p$. Pour tout $x\in E^\ast,$ on applique ($\ast$), on trouve\begin{align*}\|f(x)\|&=\left\| f\left( \frac{\|x\|}{\alpha} \frac{\alpha x}{\|x\|}\right)\right\|= \left(\frac{\|x\|}{\alpha}\right)^p
\left\| f\left(\frac{\alpha x}{\|x\|}\right)\right\|\cr & \le \left(\frac{\|x\|}{\alpha}\right)^p \varepsilon \left\|\frac{\alpha x}{|x|}\right\|^p\cr &\le \varepsilon \|x\|^p.\end{align*}Cette inégalité est vraie pour tout $\varepsilon >0,$ donc $f(x)=0$ pour tout $x\in E$.

2) Soient $k < p$ et $r\in{1,2,\cdots,k}$ on a $f^{(r)}$ existe sur $E^\ast$ et que $f^{(r)}$ est continue sur $E^\ast$. D’autre part, comme $f$ satisfait ($\ast$) en prend la r-ième différentielle des deux cotés de ($\ast$) on trouve\begin{align*}t^r f^{(r)}(tx)=t^p f^{(r)}(x),\qquad \forall x\in E^\ast.\end{align*}En particulier, \begin{align*}f^{(r)}(tx)=t^{p-r} f^{(r)}(x),\qquad \forall x\in E^\ast.\end{align*}Ce qui implique que $f^{(r)}$ est positivement continue de degré $p-r>0$. D’après la question (1) on déduit que $f^{(r)}(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. On a donc montrer que pour tout $r\in{1,2,\cdots,k}$ la fonction $f$ admet une différentielle d’ordre $r,$ continue en $0$ et s’annulant en $0$. Donc $f$ admet sur $E$ est différentielle d’ordre $k,$ continue en tout point. Ainsi $f$ est de classe $C^k$ sur $E$ et on a $f^{(r)}(0)=0$ pour tout $r\in {0,1,\cdots,k}.$

3- Supposons qu’il existe un entier $k\ge p$ tel que $f^{(r)}(0)$ existe, et donc tout entier entre $k$ et $p$ satisfait la même propriété. On peut supposer que $k-1 < p\le k$ (penser à remplaçer $k$ par le plus petit entier supérieur à $p$!). Pour tout $r\in {1,\cdots,k-1},$ $f$ admet une différentielle d’ordre $r$ définie sur un voisinage de $0$ et continue en $0$ et cette différentielle est positivement homogène de degré $p-r > 0$ (voir la question (2)), on a pour tout $x$ assez voisin de $0:$\begin{align*}f^{(r)}(0)=\lim_{t\to 0}f^{(r)}(tx)= \lim_{t\to 0} t^{p-r} f^{(r)}(x)=0.\end{align*}Ainsi $f(0)=0,$ $f'(0)=0,\cdots,f^{(k-1)}=0$, et puisque $f^{(0)}$ existe, il existe une fonction polynôme $P,$ homogène de degré $k$ sur $E,$ telle que\begin{align*}\tag{$\ast\ast$}f(x)=P(x)+o(|x|^k).\end{align*}On distingue deux cas, si $k>p$ alors la relation ($\ast\ast$) implique qu’au voisinage de l’origine on a\begin{align*}f(x)=O(\|x\|^k)=o(\|x\|^p).\end{align*}Donc d’après la question (1) la fonction $f$ est nulle. Si $k=p,$ on a $h(x):=f(x)-P(x)=o(|x|^p),$ et comme la fonction $h$ est continue et positivement homogène de degré $p,$ alors d’après (1) on a $h$ est nulle, et donc $f$ est une fonction polynôme.

4- Pour tout $t>0$ et $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ avec $(x,y)\neq 0,$ on a\begin{align*}f(tx,ty)= t^4 f(x,y).\end{align*}Donc $f$ est positivement homogène de degré $4$, et elle est donc de classe $C^3$. d’autre par comme $x^3y^3$ n’est pas divisible par $x^2+y^2,$ alors $f$ n’est pas une fonction polynôme. Par suite $f^{(4)}(0)$ n’existe pas. Il est bien claire que la fonction $g$ est positivement homogène de degré $4$. d’autre part, il est claire aussi que la fonction $g$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^\ast\times \mathbb{R}$. Il est très connu (exercice classique) que la fonction réelle définie par\begin{align*}\psi(s)=e^{-\frac{1}{s^2}}\quad\text{si}\quad s\neq 0,\quad\text{et}\quad \psi(0)=0,\end{align*}est une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. On deduit alors que $g$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)}$. Par suite $g$ est de classe $C^3$ sur $\mathbb{R}^2$. D’autre part, puisque $g$ n’est pas une fonction polynôme, alors $g$ n’admet pas de différentielle d’ordre $4$ à l’origine.

Exercice: Soit $F$ un fermé non trivial de $\mathbb{R}^n,$ de complémentaire $\Omega$. Le produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$,\begin{align*}\langle x,y \rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i,\quad x,y\in \mathbb{R}^n.\end{align*}La norme sur $\mathbb{R}^n$ est $\|x\|=\sqrt{\langle x,x \rangle}$. L’objectif est d’étudier la différentabilté de l’application\begin{align*}\varphi:\Omega\to \mathbb{R},\quad x\mapsto \varphi(x)=d(x,F)^2=\inf_{y\in F}\|x-y\|^2.\end{align*}Pour $x\in\Omega,$ on note\begin{align*}A(x)={f\in F: \|x-f\|=d(x,F)},\end{align*}Cet ensemble est non vide par compacité locale.

  1. Supposons que $\varphi$ est différentiable en $x\in\Omega$. Soit $f\in A(x)$. Montrer que\begin{align*}\nabla \varphi(x)=2(x-f).\end{align*}Qu’en déduit-on si $A(x)$ n’est pas un singleton?
  2. On suppose que $x\in \Omega$ et que $A(x)={f}$. Montrer que\begin{align*}\lim_{h\to 0}d(A(x+h),f)=0.\end{align*}En déduit que $\varphi$ est différentiable en $x$.

Solution: 1- Soit $h\in\mathbb{R}^n$ un vecteur fix. On a $x+th\in \Omega$ pout $|t|$ assez petit. De plus on a,\begin{align*}\varphi(x+th)\le \|x+th-f\|^2=\varphi(x)+2t\langle h,x-f\rangle+t^2 \|h\|^2.\end{align*}

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