Espaces vectoriels pour le lycée

Nous proposons des exercices corrigés sur les espaces vectoriels pour le lycée terminal S. En fait, ce chapitre est transversal pour le programme, mais il arrive que dans l’examen du baccalauréat on trouve un exercice. Nous vous proposons donc ici un aperçu des modèles d’exercices que vous pouvez rencontrer lors de l’examen.

Exercice: Est que les sous-ensembles suivantes sont des sous-espaces vectoriels:

  1. $\mathscr{E}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:2x+y=0\}$.
  2. $\mathscr{F}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=5\}$.
  3. $\mathscr{G}=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}\;\text{continue}:\; f(a)=f(b)\}.$
  4. $\mathscr{H}=\{f:[-1,1]\to \mathbb{R}\;\text{continue}:\; f(-1)=f(1)+1\}$.

Solution:

  1. On rappelle que $(\mathbb{R}^2,+,\times)$ est un $\mathbb{R}$ espace vectoriel. De plus on bien évidement $\mathscr{E}\subset \mathbb{R}^2$ et $\mathscr{E}$ non vide car il contient l’élément neutre $0_{\mathbb{R}^2}=(0,0)$. Il suffit donc de montrer que $\mathscr{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$. pour ceci, soientt $\lambda\in \mathbb{R}$ et $u_1,u_2\in \mathscr{E}$ tels que $u_1=(x_1,y_1)$ et $u_2=(x_2,y_2)$. Il faut montrer que $$ \lambda u_1=(\lambda x_1,\lambda x_2)\in \mathscr{E}\quad\text{et}\quad u_1+u_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)\in \mathscr{E}. $$ En effet, déjà on a $$ 2x_1+y_1=0\quad\text{et}\quad 2x_2+y_2=0. $$ D’autre part on a $$2\lambda x_1+\lambda y_1=\lambda (2x_1+y_1)= \lambda\times 0=0.$$Donc $\lambda (x_1,x_2)\in \mathscr{E}$. De plus on a aussi\begin{align*}2(x_1+x_1)+(y_1+y_2)&=(2x_1+y_1)+(2x_2+y_2)\cr &=0+0=0.\end{align*}Donc $u_1+u_2\in \mathscr{E}$. Par suite, $\mathscr{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
  2. On a $\mathscr{F}\subset \mathbb{R}^2$ et que $\mathscr{F}$ est non vide car $(0,5)\in \mathscr{F}$. Mais l’élément neutre $0_{\mathbb{R}^2}=(0,0)\notin \mathscr{F}$. Donc $\mathscr{F}$ ne peut jamais être un sous-espace vectoriel.
  3. On note par $\mathscr{C}([a,b],\mathbb{R})$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R},$ muni de lois suivantes\begin{align*}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\cr (\lambda f)(x)&=\lambda f(x)\end{align*}pour tous $f,g\in \mathscr{C}([a,b],\mathbb{R})$ et $\lambda\in\mathbb{R}$. On a $\mathscr{G}\subset \mathscr{C}([a,b],\mathbb{R})$ et la fonction nulle $\Theta(x)=0$ pour tout $x\in [a,b]$ est un élément de $\mathscr{G}$ puisque cette fonction est continue sur $[a,b]$ et que $\Theta(a)=0=\Theta(b)$. Soient $f,g\in \mathscr{G}$ et $\lambda\in \mathbb{R}$. On a $f+g$ est continue et que\begin{align*}(f+g)(a)&= f(a)+g(a)\cr &=f(b)+g(b)\cr &=(f+g)(b),\end{align*}d’où $f+g\in \mathscr{G}$. De plus $(\lambda f)(a)=\lambda f(a)=\lambda f(b)=(\lambda f)(b),$ d’où $\lambda f\in \mathscr{G}$. Ainsi $\mathscr{G}$ est un sous-espace de $\mathscr{C}([a,b],\mathbb{R})$.
  4. $\mathscr{H}$ n’est pas un sous-espace de $\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})$ car il ne contient pas la fonction nulle qui l’élément neutre de $\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})$.

Exercice: Soit $\mathscr{S}$ l’espace vectoriel des suites de nombres réels. Soit les trois suites suivantes $$ u_n=2^n,\quad v_n=3^n,\quad w_n=4^n,\qquad \forall n\in \mathbb{N}. $$ Montrer que la famille ${(u_n),(v_n),(w_n)}$ est une famille libre dans $\mathscr{S}$.

Solution: On note par $(0)_n$ la suite nulle dont les termes sont tous nuls. Soient $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in \mathbb{R}$ tel que $$ \alpha_1(u_n)_n+\alpha_2(v_n)_n+\alpha_3(w_n)_n=(0)_n. $$ Donc $$ \forall n\in\mathbb{N},\qquad \alpha_1 2^n + \alpha_2 3^n+\alpha_3 4^n=0. $$ Dans un premier temps, on divise par $4^n$, on trouve\begin{align*}\tag{P}\forall n\in\mathbb{N},\qquad\alpha_1 \left(\frac{1}{2}\right)^n + \alpha_2 \left(\frac{3}{4}\right)^n +\alpha_3=0.\end{align*}D’après la notion de suites géométriques on a\begin{align*}\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=0,\qquad \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n=0.\end{align*}En faisant tendre $n\to +\infty$ dans l’équation (P) on obtient $\alpha_3=0$. Et donc pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $$\alpha_1 2^n + \alpha_2 3^n=0.$$ Par la même technique en divise pas $3^n$ et en fait tendre $n$ vers $\infty$ on trouve $\alpha_2=0$. Ce qui donne aussi $\alpha_1 2^n=0$ pour tout $n,$ donc en particulier $\alpha_1=0$. Donc la famille de ces trois suites est libre dans $\mathscr{S}$.

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