Cours sur les suites pour terminale S

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Nous proposons un résumé de cours sur les suites pour terminal S (scientifique). Nous donnons une explication simple et rigoureuse du concept de convergence. Ensuite, nous introduisons des méthodes simples et efficaces pour montrer la convergence des séquences de nombres réels.

Définitions et remarques

Un suite numérique est une application $u:\mathbb{N}\to \mathbb{R},$ $n\mapsto u(n)=u_n.$ En général, la suite $u$ sera notée $(u_n)_{n\ge 0}$ et $u_n$ est le terme général de la suite.

Exemples: $u_n=b$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ avec $b\in\mathbb{R}$ (on dit que si la suite constante égale à $b$.) $v_n=\frac{1}{n},\; n\in\mathbb{N}^\ast$, $w_n=a^n$ pour tout $n\in\mathbb{N},$ où $a\in\mathbb{R}$ un certain numbre réelle (c’est la suite géométrique).

Convergence de suites

Dans $\mathbb{R}$ la distance entre deux réels $a,b$ est par définition la valeur absolue de leur différence, c’est-à-dire $|a-b|$. On dit que $a$ est très proche de $b$ si la distance $|a-b|$ est trop petite. Ce qui est équivalent à dire que $|a-b|\le \varepsilon$ pour n’import qu’un réel $\varepsilon>0$ suffisament petit.

Il faut noter que la définition de $+\infty$ est philosophic et dépasse le programme du terminale. Mais ici pour nous $+\infty$ c’est un élément qui n’est pas un réel ($+\infty$ n’est dans $\mathbb{R}$) plus grand que tout les nombres réel postifs. Un entier naturel $n$ est dit proche de $+\infty$ (ou $n$ tend vers $+\infty$) si on peut trouver un entier naturel $N$ assez grand tels que $n\ge N$.

Limite finie de suites: On dit q’une suite $(u_n)$ tend vers un nombre réel $\ell\in \mathbb{R}$ (ou bien admet une limite $\ell$) quand $n$ tend vers $+\infty$ et on écrit $\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell$ (ou parfois $u_n\to \ell$ quand $n\to +\infty$) si pour quelque soit le réel $\varepsilon>0$ très petit, il existe un entier très grand $N\in\mathbb{N}$ tel que à partir de $n\ge N$ on a $u_n\in ]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$.

Explication: $u_n\in ]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$ signifie que $|u_n-\ell| < \varepsilon$; comme $\varepsilon$ est trop petit, alors la distance $|u_n-\ell|$ est trop petite, c’est à dire $u_n$ est tés proche de $\ell$. Le fait que $N$ est très grand et $n\ge N$ siginfie que $n$ est proche de $+\infty$ ($n\to +\infty$). Donc la suite $(u_n)$ admet une limite $\ell\in\mathbb{R}$ quand $n$ tend vers l’infini, s’il existe un $N\in \mathbb{N}$ (très grand) tels que tous les terme de la suite $u_n$ avec $n\ge N$ sont proches de $\ell$.

Example: Montrons que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{1}{n}$ pour tout $n>0$; tend vers $0$ quand $n\to+\infty$. En effet, soit $\varepsilon>0,$ il faut chercher les $N\in\mathbb{N}$ tels que $|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n} < \varepsilon$ désque $n> N$.

Déjà pour que $\frac{1}{n} < \varepsilon$ il faut que $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Il suffit donc de choisir $N=E(\frac{1}{\varepsilon})+1$, où $E(\cdot)$ est la partie entière (on rappel que pour $x\in \mathbb{R}$ on a $E(x)\le x < E(x)+1$). Il faut notrer que $\frac{1}{\varepsilon}$ est très grand, donc $N$ est trés grand aussi.

Avec ce choix de $N,$ on a $n> N$ implique que $n> E(\frac{1}{\varepsilon})+1> \frac{1}{\varepsilon}$ ce qui implique que $u_n=\frac{1}{n}<\varepsilon$. Ainsi\begin{align*}\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0.\end{align*}

Limite infini de suites

Une suite $(un)n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ (on écrit $\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$ ou bien $u_n\to +\infty$ quand $n\to +\infty$) s’il existe un entier $N$ (assez grand) tels que les terme de la suite $u_n$ sont tous proche de $+\infty$ déque $n\ge N$.

Dire que $u_n$ sont tous proche de $+\infty$ déque $n\ge N$ signifie que si $n\ge N$ alors $u_n$ est plus grand que n’import que $A\in\mathbb{R}$ avec $A$ trés grand. Donc $u_n\to +\infty$ quand $n\to +\infty$ si et seulement si pour tout $A\in\mathbb{R}$ avec (assez grand), il existe un entier $N\in\mathbb{N}$ (assez grand) tel que si $n\ge N$ alors $u_n > A$.

Exemple: Montrons que $u_n=n^2\to +\infty$ quand $n\to +\infty$. Soit $A>0$ un nombre réel assez grand. Il faut chercher une entier $N$ assez grand tel que $u_n=n^2 > A$ désque $n>N$.

Pour que $n^2>A$ il faut que $n>\sqrt{A}$. On choisi alors $N=E(\sqrt{A})+1$. Donc on a: $n>N$ implique $n>E(\sqrt{A})+1$ implique que $n>\sqrt{A}$ implique que $n^2>A$. Donc pour tout $A>0$ il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $n>N$ implique que $u_n>A$. D’où le résultat.

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