Les propriétés des bornes supérieure et inférieure

bornes-superieure-et-inferieure

Exercices corrigés sur les bornes supérieure et inférieure sont proposés. L’ensemble des nombres réels satisfait la propriété de la borne supérieure et inférieure. C’est à dire que toute partie non vide majorée (respectivement minorée) de R admet une borne supérieure (respectivement inférieure). Tous les exercices suivant sont basés sur cette propriété.

Exercice:

  1. Soit $A$ une partie non vide et bornée dans l’ensemble de nombres réels $\mathbb{R}$. On pose\begin{align*}B:=\{|x-y|:x,y\in A\}.\end{align*}Montrer que $\sup(B)$ existe et que\begin{align*}\sup(B)=\sup(A)-\inf(A).\end{align*}
  2. Etudier l’exitence de la borne supérieure et inférieure des ensembles suivantes\begin{align*}E=]1,2[,\quad F=]0,+\infty[,\quad G=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}^\ast\right\}.\end{align*}

Solution:

  1. Comme $A$ est non vide, alors il existe au moins $a\in A$. Donc $0=|a-a|\in B$, ce qui implique que $B$ est non vide. Montrons que $B$ est majoré. Soit $z\in B$. Donc il existe $x,y\in A$ tels que $z=|x-y|$. D’autre part, il faut remarquer que $\inf(A)\le x\le \sup(A)$ et $-\sup(A)\le -y\le -\inf(A)$. Ce qui donne\begin{align*}\inf(A)-\sup(A)\le x-y\le \sup(A)-\inf(A).\end{align*}Ceci signifie que $z=|x-y|\le \sup(A)-\inf(A)$. Par suite, l’ensemble $B$ est majoré par $\sup(A)-\inf(A)$. Ainsi $\sup(B)$ existe dans $\mathbb{R}$ (on rappelle que toute partie dans $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure). D’aprés la caractérisation de la borne sup en terme de suite, il suffit de montrer que il existe une suite $(z_n)_n\subset B$ telle que $z_n$ tends vers $\sup(A)-\inf(A)$ quand $n\to+\infty$. En effet, il existe $(x_n)_n\subset A$ et $(y_n)_n\subset A$ telles que $x_n\to \sup(A)$ et $y_n\to \inf(A)$ quand $n\to+\infty$. Donc $x_n-y_n\to \sup(A)-\inf(A)$ quand $n\to+\infty$. Comme la fonction $t\mapsto |t|$ est continue, alors $|x_n-y_n|\to |\sup(A)-\inf(A)|=\sup(A)-\inf(A)$. En fin si on pose $z_n:=|x_n-y_n|,$ alors $(z_n)_n\subset B$ et $z_n\to \sup(A)-\inf(A)$ quand $n\to+\infty$. D’ou le résultat.
  2. On a $E$ est borné car cet ensemble est majoré par 2 et minoré par 1. Comme $E$ est non vide alors les borne supérieure et inférieure de $E$ existent. Pour tout $n\ge 2$ on considère les suites\begin{align*}x_n=1+\frac{1}{n}\quad\text{et}\quad y_n=2-\frac{1}{n}.\end{align*}On a $(x_n)_n, (y_n)_n\subset E$ et $x_n\to 1$ and $y_n\to 2$. Donc $1=\inf(E)$ et $2=\sup(E)$.L’ensemble $F$ est non vide car par exemple $1\in F$. De plus $F$ est minoré par $0$ donc $\inf(E)$ existe. Comme $(\frac{1}{n})_n\subset F$ et $\frac{1}{n}\to 0$ quand $n\to 0$ alors $0=\inf(F)$. Par contre $\sup(F)$ n’existe pas dans $\mathbb{R}$ car $F$ n’est pas majoré. Il est claire de $G\subset ]0,1]$. Donc $\inf(G)$ et $\sup(G)$ existent. De plus $\frac{1}{n}\to 0$, donc $0=\inf(G)$. D’autre par $1$ est un majorant de $G$ et $1\in G$. Donc $1=\sup(G)$ (il faut bien retenir la propriété suivante: un majorant qui appartient a l’ensembe est un sup.)

Exercice: Soit $A$ une partie non vide et bornée dans $\mathbb{R}^+$. On pose\begin{align*}\sqrt{A}:=\left\{\sqrt{x}:x\in A\right\}.\end{align*}Montrer que $$\sup(\sqrt{A})=\sqrt{\sup(A)}.$$

Solution: On a $A\neq \emptyset$ et $A$ majorée dans $\mathbb{R}$ alors $\sup(A)$ existe. Comme les élémemts de $A$ sont positives alors $\sup(A)\ge 0$.

Montrons que $\sup(\sqrt{A})$ est non vide. En effet, le fait que $A\neq \emptyset$ implique que $A$ contient au moins un element $x_0\in A$ avec $x_0\ge 0$. Donc $\sqrt{x_0}\in \sup(\sqrt{A})$. Ainsi $\sup(\sqrt{A})\neq \emptyset$.

Montrons que $\sqrt{A}$ est majorée. En effet, soit $y\in \sqrt{A}$. Il existe donc $x\in A$ ($x\ge 0$) tel que $y=\sqrt{x}$. Comme $x\in A,$ alors $x\le \sup(A)$. Comme la fonction racine carrée est croissante alors $y=\sqrt{x}\le \sqrt{\sup(A)}$. Donc $\sqrt{A}$ est majorée par $\sqrt{\sup(A)}$.

$\sqrt{A}$ non vide majorée, donc $d=\sup(\sqrt{A})$ existe. Comme $d$ est le plus petit des majorants de $\sqrt{A}$ et que $\sqrt{\sup(A)}$ est un majortant de cette ensemble, alors $d\le \sqrt{\sup(A)}$. D’autre part, pour tout $x\in A$ on a $\sqrt{x}\le d,$ donc $x \le d^2$. Ce qui implique $d^2$ est un majorant de $A$. Comme $\sup(A)$ est le plus petit des majorants de $A$ alors $\sup(A)\le d^2$. En passe à la racine carrée, on trouve $\sqrt{\sup(A)}\le d$. Ainsi $\sqrt{\sup(A)}=d$.

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