Exercices corrigés d’arithmétique pour math sup

Nous proposons des exercices corrigés d’arithmétique pour les math sup. En effet, se sont des exercices sur la division euclidienne, sur la congruence et sur les nombres premiers. En fait, c’est une extension du cours vu au terminal des sciences mathématiques

Exercice: Montrer que $7$ divise $3^{2019}+4^{2019}$.

Solution: Remarquons que\begin{align*}4\equiv -3\;{\rm mod}\;7.\end{align*}Or $2019$ est impair, donc $4^{2019}\equiv -3^{2019}\;{\rm mod}\;7$. D’où le résultat.

Exercice: Soient $a,b\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}^\ast$ tels que $a\equiv b \;{\rm mod}\;n.$ Montrer que\begin{align*}a^n\equiv b^n \;{\rm mod}\;n^2\end{align*}

Solution: Puisque $a\equiv b \;{\rm mod}\;n,$ alors il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=b+kn$. En passe à la puissance $n,$ et on utilise la formule de binôme on trouve\begin{align*}a^n=(b+kn)^n&= \sum_{p=0}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^p\cr &= b^n+\binom{n}{1}b^{n-1} kn+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^p.\end{align*}Mais $\binom{n}{1}=n,$ alors\begin{align*}a^n- b^n&=b^{n-1} kn^2+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^p\cr &= \left(b^{n-1} k+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^{p-2}\right)\;n^2\cr &= r n^2\end{align*}avec \begin{align*}r:=b^{n-1} k+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^{p-2}\in\mathbb{Z}.\end{align*}D’où le résultat.

Exercice: Montrer que quel que soit $n\in\mathbb{Z},$ on a $7$ devise $2^{4^n}+5$.

Solution: L’idée c’est le raisonnoment par réccurence. En effet, pour $n=0$ on a $2^{4^0}+5=2+5=7,$ donc c’est vraie. Maintenant, supposons la proprité est vraie à l’ordre $n$. On a alors $2^{4^n}+5 \equiv 0 \;{\rm mod}\;7$. Comme $5\equiv -2 \;{\rm mod}\;7$, alors $2^{4^n} \equiv 2 \;{\rm mod}\;7$. D’autre part,\begin{align*}2^{4^{n+1}}=2^{4^n\times 4}= \left(2^{4^n}\right)^4\equiv 2^4 \;{\rm mod}\;7\equiv 2 \;{\rm mod}\;7.\end{align*}Ainsi $2^{4^{n+1}}+5 \equiv 0 \;{\rm mod}\;7$.

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